Kuartil dan Box Plot

Adem

Kuartil

Kuartil adalah tiga nilai yang posisinya membagi data yang sudah terurut menjadi empat bagian yang sama banyak.

Salah satu prosedur menentukan kuartil:

  • Urutkan data dari nilai terkecil ke nilai yang terbesar.
  • Bagi dua data menjadi dua bagian yang sama banyak. Data di posisi yang membagi dua data itu adalah Median atau Kuartil 2 dengan simbol \(\text{Q}_2\).
  • Bagi dua data yang di sebelah kiri \(\text{Q}_2\). Data di posisi yang membagi dua data itu adalah Kuartil 1 dengan simbol \(\text{Q}_1\).
  • Bagi dua data yang di sebelah kanan \(\text{Q}_2\). Data di posisi yang membagi dua data itu adalah Kuartil 3 dengan simbol \(\text{Q}_3\).

Contoh 1

Carilah \(\text{Q}_1\), \(\text{Q}_2\), dan \(\text{Q}_3\) dari: 6, 5, 8, 7, 9, 8, 7

Data sudah terurut, yaitu:

Menentukan \(\text{Q}_2\) atau \(\text{Me}\), cari data ke berapa yang membagi data menjadi 2 (dua) bagian yang sama banyak.

Diperoleh \(\text{Q}_2\) adalah data ke-4. Nilai \(\text{Q}_2 = \text{Me} = x_4 = 7\).

Menentukan \(\text{Q}_1\) dengan meninjau data sebelah kiri \(\text{Q}_2\), kemudian cari data ke berapa yang membagi data itu menjadi 2 (dua) bagian yang sama banyak.

Diperoleh \(\text{Q}_1\) adalah data ke-2, sehingga nilai \(\text{Q}_1 = x_2 = 6\).

Menentukan \(\text{Q}_3\) dengan meninjau data sebelah kanan \(\text{Q}_2\), kemudian cari data ke berapa yang membagi data itu menjadi 2 (dua) bagian yang sama banyak.

Diperoleh \(\text{Q}_3\) adalah data ke-6. Nilai \(\text{Q}_3 = \text{Me} = x_6 = 8\).

Jadi, sudah ditemukan bahwa: \[\text{Q}_1 = 6\] \[\text{Q}_2 = 7\] \[\text{Q}_3 = 8\]

Contoh 2

Carilah \(\text{Q}_1\), \(\text{Q}_2\), dan \(\text{Q}_3\) dari: 1, 3, 4, 7, 11, 12, 14, 19

Langka 1: Data sudah terurut.

Langka 2: Mencari \(\text{Q}_2\) dan diperoleh \(\text{Q}_2 = \text{Me} = \dfrac{x_4 + x_5}{2}=\dfrac{7+11}{2}=9\).

Langka 3: Mencari \(\text{Q}_1\) dan diperoleh \(\text{Q}_1 = \dfrac{x_2 + x_3}{2} = \dfrac{3+4}{2}=3\frac{1}{2}\).

Langka 4: Mencari \(\text{Q}_3\) dan diperoleh \(\text{Q}_3 = \dfrac{x_6 + x_7}{2} = \dfrac{12+14}{2}=13\).

Jadi sudah ditemukan bahwa: \[\text{Q}_1 = 3\frac{1}{2}\] \[\text{Q}_2 = \text{Me} = 9\] \[\text{Q}_3 = \frac{12+14}{2}=13\]

Contoh 3

Carilah \(\text{Q}_1\), \(\text{Q}_2\), dan \(\text{Q}_3\) dari: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Data sudah terurut

Mencari \(\text{Q}_2\) dan diperoleh \(\text{Q}_2 = \text{Me} = x_5 = 5\).

Mencari \(\text{Q}_1\) dan diperoleh \(\text{Q}_1 = \dfrac{x_2 + x_3}{2}= \dfrac{2+3}{2}=2\frac{1}{2}\).

Mencari \(\text{Q}_3\) dan diperoleh \(\text{Q}_3 = \dfrac{x_7 + x_8}{2} = \dfrac{7+8}{2}=7\frac{1}{2}\).

Jadi sudah ditemukan bahwa: \[\text{Q}_1 = 2\frac{1}{2}\] \[\text{Q}_2 = \text{Me} = 5\] \[\text{Q}_3 = 7\frac{1}{2}\]

Contoh 4

Carilah \(\text{Q}_1\), \(\text{Q}_2\), dan \(\text{Q}_3\) dari: 1, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 9, 10

Data sudah terurut.

Mencari \(\text{Q}_2\) dan diperoleh \(\text{Q}_2 = \text{Me} = \dfrac{x_5 + x_6}{2} = \dfrac{5+6}{2}=5\frac{1}{2}\).

Mencari \(\text{Q}_1\) dan diperoleh \(\text{Q}_1 = x_3 = 5\).

Mencari \(\text{Q}_3\) dan diperoleh \(\text{Q}_3 = x_8 = 7\).

Jadi sudah ditemukan bahwa: \[\text{Q}_1 = 5\] \[\text{Q}_2 = \text{Me} = 5\frac{1}{2}\] \[\text{Q}_3 = 7\]

Statistik Lima Serangkai

Statistik lima serangkai terdiri dari nilai data terkecil (\(\text{x}_\text{min}\)), Q₁, Q₂, Q₃, dan data terbesar (\(\text{x}_\text{maks}\)).

Statistik lima serangkai data pada contoh 4:

Jangkauan Antar Kuartil

Jangkauan antar kuartil dalam bahasa Inggris Interquartil Range (IQR) biasa disebut juga Hamparan (H).

\[\textbf{IQR} = \textbf{H} = \text{Q}_3 - \text{Q}_1\]

Dari data pada contoh 1:

Jangkauan Antar Kuartil-nya adalah:

\[\textbf{IQR} = \textbf{H} = \text{Q}_3 - \text{Q}_1 = 8 − 6 = 2\]

Pagar dan Pencilan

Pagar Dalam (PD) = \(\text{Q}_1 - \frac{3}{2}\,\text{H}\)

Pagar Luar (PL) = \(\text{Q}_3 + \frac{3}{2}\,\text{H}\)

Dari data pada Contoh 2.

Diperoleh:

PD = \(5 - \frac{3}{2}\times(7 - 5) = 2\)

PL = \(7 + \frac{3}{2}\times(7 - 5) = 10\)

Note

Langkah:

\(\textbf{L} = \frac{3}{2}\textbf{H} = \frac{3}{2}(\text{Q}_3 - \text{Q}_1)\)

Pencilan adalah data yang berada di luar pagar, yaitu data yang nilainya lebih kecil dari nilai Pagar Dalam atau nilainya lebih besar dari Pagar Luar.

Dari data pada Contoh 2.

Pencilannya adalah data yang tidak berada di antara nilai 2 dan 10.

Pencilan pada data itu adalah \(1\).

Diagran Kotak Garis

Diagram Kotak Garis (Box and Whisker Plot) menyajikan statistik lima serangkai.

Berikut contoh Diagram Kotak Garis untuk statistik lima serangkai: \(\text{x}_\text{min}=2\), \(\text{Q}_1=4\), \(\text{Q}_2=5\), \(\text{Q}_3=7\), dan \(\text{x}_\text{maks}=8\).

Dari data pada Contoh 4

Berikut ini Diagram Kotak Garis dari data pada Contoh 4.

Pada Diagram Kotak Garis di atas tidak diperlihatkan keberadaan Pencilan.

Jika Pencilan hendak ditampilkan, maka Diagram Kotak Garis dari data itu sebagai berikut.

Uji Kompetensi

Kuis Statistik Lima Serangkai dan Box Plot

Latihan Soal

1. Temukan Kuartil untuk data berikut:

No Data \(\text{Q}_{1,2,3}\)
a. 2, 10, 28, 35, 50 …
b. 31, 32, 34, 42, 49, 50 …
c. 8, 11, 12, 15, 17, 19, 22 …
d. 5, 7, 12, 14, 15, 22, 24, 30 …
e. 41, 42, 43, 44, 49, 50, 51, 53, 58 …
f. 21, 23, 26, 31, 34, 38, 42, 47, 48, 49 …

2. Temukan Kuartil dan Jangkauan Antar Kuartil dari data berikut:

No Data \(\text{Q}_{1,2,3}\) & IQR = H
a. 102, 115, 110, 113, 100 …
b. -4, -6, -1, 7, 9, 7, 9 …
c. 19, 29, 55, 22, 15, 46, 35, 9, 27, 40 …

3. Temukan Kuartil dan Jangkauan Antar Kuartil dari data yang disajikan dalam Diagram Batang Daun berikut.

Keterangan tentang Diagram Batang Daun.

4. Temukan Statistik Lima Serangkai dari data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut.

  1. Skor Frekuensi
    5 3
    13 3
    16 2
    28 2
    31 3
    38 4
    48 2
  1. Skor Frekuensi
    5 1
    14 1
    18 3
    24 2
    32 1
    38 2
    50 5

5. Temukan Statistik Lima Serangkai dari data yang disajikan dalam Dot Plot berikut, kemudian buatlah Diagram Kotak Garis-nya.

Kelas Adem