Polinomial (Suku Banyak)

Tujuan Pembelajaran:

  1. Mengetahui bentuk umum suatu polinomial, arti derajat suatu polinomial dan nama-nama polinomial persekutuannya, serta mampu menggunakan notasi fungsi untuk polinomial
  2. Melakukan operasi aritmetika pada polinomial (suku banyak), menentukan faktor polinomial, dan menggunakan identitas polinomial untuk menyelesaikan masalah.

Pengertian Polinomial

Monomial adalah suatu bilangan atau variabel berpangkat bilangan Cacah atau perkalian keduanya, termasuk di dalamnya adalah konstanta.

Polinomial dapat berupa monomial atau penjumlahan dari dua atau lebih monomial.

Contoh Polinomial Keterangan
\(8\) \(8 = 8\cdot{x^{0}}\), polinom berderajat 0 biasa disebut konstanta
\(2x+5\) Polinom berderajat 1
\(\frac{1}{2}x^2-x+2\) Polinom berderajat 2
\(x^3-\frac{1}{8}\) Polinom berderajat 3
\(3x^4-2x^3+x^2-x+2\) Polinom berderajat 4
\(2x^3-4x^2y+xy^2+1\) Polinom berderajat 3

wave

Bukan Contoh Polinomia Keterangan
\(x-\dfrac{1}{x}\) \(\dfrac{1}{x}\) bukan monomial
\(2x-3\sqrt{x}\) \(3\sqrt{x}\) bukan monomial
\(2\,\log^2{x}-\log{x}\) \(2\,\log^2{x}\) dan \(\log{x}\) bukan monomial
\(3^x + 2^x-1\) \(3^x\) dan \(2^x\) bukan monomial
\(\dfrac{x-1}{x^2-1}+(x+1)\) \(\dfrac{x-1}{x^2-1}\) bukan monomial

Bentuk umum polinomial berderajat \(n\) adalah

\[ a_{n}\,x^{n} + a_{n-1}\,x^{n-1} + a_{n-2}\,x^{n-2} + ... + a_{0}\,x^{0} \] dengan \(n\) elemen bilangan Cacah dan \(\,a_{n},\,a_{n-1},\,...\,,a_{0}\,\) elemen bilangan Real.

wave

Operasi Aritmetika pada Polinomial

Penjumlahan dan Pengurangan pada Polinomial

\(\begin{flalign*} \text{Contoh 1. } &\text{Jika }P(x) = 2x^3 - 5x^2 - 4x + 1\text{ dan }Q(x) = 3x^2 - x - 2, \\ &\text{tentukan }P(x)+Q(x)\text{ dan }P(x)-Q(x) \end{flalign*}\)

Jawab:

\(\begin{flalign*} P(x) + Q(x) &= (2x^3 - 5x^2 - 4x + 1) + (3x^2 - x - 2) \\ &= 2x^3 + (-5+3)\,x^2 + (-4+(-1))\,x + (1+(-2))\\ &= 2x^3 - 2x^2 - 5x - 1 \end{flalign*}\)

dan

\(\begin{flalign*} P(x) - Q(x) &= (2x^3 - 5x^2 - 4x + 1) - (3x^2 - x - 2) \\ &= 2x^3 + (-5-3)\,x^2 + (-4-(-1))\,x + (1-(-2))\\ &= 2x^3 + (-8)\,x^2 + (-4+1)\,x + (1+2)\\ &= 2x^3 - 8x^2 - 3x + 3 \end{flalign*}\)

Perkalian pada Polinomial

\(\begin{flalign*} \text{Contoh 2. } &\text{Jika }P(x) = 2x^2 + x - 6 \text{ dan }Q(x) = 2x - 1, \\ &\text{tentukan }P(x)\times{Q(x)} \end{flalign*}\)

Jawab:

\(\begin{flalign*} P(x) \times Q(x) &= (2x^2 + x - 6) \times (2x - 1) \\ &= 2x^2\cdot(2x - 1) + x\cdot(2x - 1) - 6\cdot(2x - 1)\\ &= 4x^3 - 2x^2 + 2x^2 - x - 12x + 6 \\ &= 4x^3 - 13x + 6 \end{flalign*}\)

Pembagian pada Polinomial

\[\frac{P(x)}{Q(x)}=H(x)+\frac{S(x)}{Q(x)} \quad\Leftrightarrow\quad P(x)=Q(x)\cdot{H(x)}+S(x)\]

Polinomial \(P(x)\) dibagi polinomial \(Q(x)\) menghasilkan hasil bagi \(H(x)\) dan sisa pembagian \(S(x)\).

\(\begin{flalign*} \text{Contoh 3. } &\text{Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian } \\ &x^3 - 3x^2 + 5x - 3 \text{ oleh } (x-1) \text{ dan } (x+4) \end{flalign*}\)

Jawab:

x - 1 x³ - 3x² + 5x - 3 x² - 2x + 3 x³ - x² - -2x² + 5x - 3 -2x² + 2x - 3x - 3 3x - 3 - 0
x + 4 x³ - 3x² + 5x - 3 x² - 7x + 33 x³ + 4x² - -7x² + 5x - 3 -7x² - 28x - 33x - 3 33x + 132 - -135

wave

Metode skema (Horner) dapat digunakan untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian.

Pembagian dengan \(x-1\)

1 1 -3 5 -3 1 -2 3 1 -2 3 0 (sisa) x² - 2x + 3 (Hasil Bagi)

Pembagian dengan \(x+4\) -4 1 -3 5 -3 -4 28 -132 1 -7 33 -135 (sisa) x² - 7x + 33 (Hasil Bagi)

wave

Kita mendapatkan:

\[\frac{x^3-3x^2+5x-3}{x-1} = x^2-2x+3\] Hasil bagi \(\,x^3-3x^2+5x-3\,\) oleh \(\,x-1\,\) adalah \(\,x^2-2x+3\)
dan sisa pembagiannya \(0\). Karena sisa pembagiannya \(0\), maka \(\,x-1\,\) adalah faktor \(\,x^3-3x^2+5x-3\).

Dan

\[\frac{x^3-3x^2+5x-3}{x+4} = x^2-7x+33+\dfrac{-135}{x+4}\]

Hasil bagi \(\,x^3-3x^2+5x-3\,\) oleh \(\,x+4\,\) adalah \(\,x^2-7x+33\,\)
dan sisa pembagiannya \(-135\).

wave

Teorema Sisa dan Teorema Faktor

Teorema Sisa

Jika polinomial \(P(x)\) dibagi \((ax-b)\), maka sisanya sama dengan \(P\left(\frac{b}{a}\right)\), yaitu nilai \(P(x)\) pada saat \(x=\frac{b}{a}\).

Jika \(P(x)\) adalah fungsi Polinomial dalam \(x\), maka \(P(k)\) adalah nilai fungsi polinomial \(P(x)\) pada saat \(\,x=k\).

Nilai Fungsi polinomial

Menentukan nilai fungsi polinomial dapat dilakukan dengan metode substitusi atau metode skema (Horner).

Metode Substitusi

Nilai \(\,\small P(x) = a_{n}\,x^{n} + a_{n-1}\,x^{n-1} + a_{n-2}\,x^{n-2} + ... + a_{2}\,x^{2} + a_{1} + a_{0}\,\) untuk \(\,x=k\,\) adalah:

\[ P(k) = a_{n}\,k^{n} + a_{n-1}\,k^{n-1} + a_{n-2}\,k^{n-2} + ... + a_{2}\,k^{2} + a_{1}\,k + a_{0} \]

\(\begin{flalign*} \text{Contoh 4. } &\text{Jika }P(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 3, \\ &\text{tentukan nilai }P(1)\text{ dan }P(-4) \\ &\text{dengan metode substitusi} \end{flalign*}\)

Jawab:

\(\begin{flalign*} P(1) &= (1)^3 - 3(1)^2 + 5(1) - 3\\ &= 1 - 3 + 5 - 3 = 0 \end{flalign*}\)

dan

\(\begin{flalign*} P(-4) &= (-4)^3 - 3(-4)^2 + 5(-4) - 3 \\ &= -64 - 48 - 20 - 3 = -135 \end{flalign*}\)

wave

Metode Skema

Misalkan polinomial \(P(x) = a_{3}\,x^{3} + a_{2}\,x^{2} + a_{1}\,x + a_{0}\) akan dicari nilainya untuk \(x=k\).

Perhatikan:

\(\begin{flalign*} P(k) &= a_{3}\,k^3 + a_{2}\,k^2 + a_{1}\,k + a_{0} \\ &= (a_{3}\,k^2 + a_{2}\,k + a_{1})\,k + a_{0} \\ &= ((a_{3}\,k + a_{2})\,k + a_{1})\,k + a_{0} \end{flalign*}\)

dan

x = k a₃ a₂ a₁ a₀ a₃k (a₃k + a₂)k ((a₃k + a₂)k + a₁)k a₃ a₃k + a₂ (a₃k + a₂)k + a₁ ((a₃k + a₂)k + a₁)k + a₀ = P(k)
\(\begin{flalign*} \text{Contoh 5. } &\text{Jika }P(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 3, \\ &\text{tentukan nilai }P(1)\text{ dan }P(-4) \\ &\text{dengan metode Skema} \end{flalign*}\)

Jawab:

Menentukan nilai \(P(1)\)

1 1 -3 5 -3 1 -2 3 1 -2 3 0 = P(1)

Menentukan nilai \(P(-4)\)

-4 1 -3 5 -3 -4 28 -132 1 -7 33 -135 = P(-4)

Teorema Faktor

Polinomial \(P(x)\) mempunyai faktor \((ax-b)\) jika dan hanya jika \(P\left(\frac{b}{a}\right)=0\).

Jika \((ax-b)\) adalah faktor dari \(P(x)\), maka \(x=\frac{b}{a}\) adalah akar dari \(P(x)=0\) atau \(P\left(\frac{b}{a}\right)=0\).

\(\begin{flalign*} \text{Contoh 6. } &\text{Tunjukkan bahwa } x-4 \text{ adalah faktor dari } \\ &8x^4 - 22x^3 - 63x^2 + 97x - 20 \end{flalign*}\)

Jawab:

4 8 -22 -63 97 -20 32 40 -92 20 8 10 -23 5 0 = P(4)

Karena sisa pembagian \(P(x)=8x^4 - 22x^3 - 63x^2 + 97x - 20\) oleh \(x-4\) adalah \(P(4)=0\), maka \(x-4\) adalah faktor dari \(P(x)\)

wave

Persamaan Polinomial

Bentuk umum persamaan polinomial:

\[a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_{1}x + a_{0} = 0\]

Nilai \(x\) yang merupakan penyelesaian dari persamaan polinomial disebut akar dari persamaan itu. Banyak akar dari suatu polinomial adalah sama banyak dengan derajat polinomial itu. Akar-akarnya dapat berupa anggota himpunan Real atau Kompleks, dapat berbeda nilai semuanya, tetapi mungkin juga ada yang sama.

Jumlah akar-akar dan hasil kalinya dapat berhubungan dengan koefisien pada polinomial. Terkait hal ini, dikenal rumus Vieta. Rumus Vieta adalah sekumpulan rumus yang menghubungkan antara koefisien pada polinomial dengan hasil penjumlahan dan perkalian dari nilai akar-akarnya.

Polinomial \(ax + b = 0\)

Akar dari \(ax+b=0\) adalah \(x_1\), berlaku:

\[\begin{aligned} x_1 = - \frac{b}{a} \end{aligned}\]

Polinomial \(ax^2 + bx + c = 0\)

Akar-akar dari \(ax^2+bx+c=0\) adalah \(x_1\) dan \(x_2\), berlaku:

\[\begin{aligned} x_1 + x_2 &= - \frac{b}{a} \\ x_1\cdot{x_2} &= \frac{c}{a} \end{aligned}\]

Polinomial \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)

Akar-akar dari \(ax^3 + bx^2 + cx + d=0\) adalah \(x_1\), \(x_2\), dan \(x_3\), berlaku:

\[\begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 &= - \frac{b}{a} \\ x_1\cdot{x_2} + x_1\cdot{x_3} + x_2\cdot{x_3} &= \frac{c}{a} \\ x_1\cdot{x_2}\cdot{x_3} &= -\frac{d}{a} \end{aligned}\]

Polinomial \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\)

Akar-akar dari \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e=0\) adalah \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), dan \(x_4\), berlaku:

\[\begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 &= - \frac{b}{a} \\ x_1\cdot{x_2} + x_1\cdot{x_3} + x_1\cdot{x_4} + x_2\cdot{x_3} +x_2\cdot{x_4} + x_3\cdot{x_4} &= \frac{c}{a} \\ x_1\cdot{x_2}\cdot{x_3} + x_1\cdot{x_2}\cdot{x_4} + x_1\cdot{x_3}\cdot{x_4} + x_2\cdot{x_3}\cdot{x_4} &= -\frac{d}{a} \\ x_1\cdot{x_2}\cdot{x_3}\cdot{x_4} &= \frac{e}{a} \end{aligned}\]

\(\begin{flalign*} \text{Contoh 7. } &\text{Tentukan akar-akar dari } \\ &8x^4 - 22x^3 - 63x^2 + 97x - 20 = 0 \end{flalign*}\)

Jawab:

Akar-akar rasional yang mungkin dari \(P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) adalah \(\frac{\text{faktor dari }e}{\text{faktor dari }a}\).

Akar-akar rasional yang mungkin dari persamaan polinomial \(P(x)=8x^4 - 22x^3 - 63x^2 + 97x - 20\) adalah \(\pm\frac{1}{1}\), \(\pm\frac{1}{2}\), \(\pm\frac{1}{4}\), \(\pm\frac{1}{8}\), \(\pm\frac{2}{1}\), \(\pm\frac{4}{1}\), \(\pm\frac{5}{1}\), \(\pm\frac{5}{2}\), \(\pm\frac{5}{4}\), \(\pm\frac{5}{8}\), \(\pm\frac{10}{1}\), dan \(\pm\frac{20}{1}\).

Telah diketahui salah satu faktor dari \(P(x)=8x^4 - 22x^3 - 63x^2 + 97x - 20\) adalah \(x-4\) atau \(x=4\) adalah akar dari \(P(x)=0\).

4 8 -22 -63 97 -20 32 40 -92 20 8 10 -23 5 0 1 8 18 -5 8 18 -5 0 ¼ 2 5 8 20 0

\(\begin{flalign*} P(x) &= 0 \\ 8x^4 - 22x^3 - 63x^2 + 97x - 20 &= 0 \\ (x-1)(x-4)(x-\frac{1}{4})(8x+20) &= 0 \\ (x-1)(x-4)(x-\frac{1}{4})\cdot{4}\cdot(2x+5) &= 0 \\ (x-1)(x-4)(4x-1)(2x+5) &= 0 \end{flalign*}\)

Dengan demikian akar-akar \(P(x)\) adalah \(1\), \(4\), \(\frac{1}{4}\), dan \(-\frac{5}{2}\)

\(\begin{flalign*} \text{Contoh 8. } &\text{Diketahui 2 akar dari } x^3 + ax^2 + ax + 1 = 0. \\ &\text{Tentukan jumlah akar-akar persamaan itu.} \end{flalign*}\)

Jawab:

Karena \(x=2\) akar dari \(x^3 + ax^2 + ax + 1 = 0\), maka:

\(\begin{flalign*} (2)^3 + a\cdot(2)^2 + a\cdot(2) + 1 &= 0 \\ 8 + 4a + 2a + 1 &= 0 \\ 6a &= -9 \\ a &= -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2} \end{flalign*}\)

Persamaan polinomialnya menjadi \(x^3 - \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2}x + 1 = 0\)

Jumlah akar-akarnya adalah \(-\frac{b}{a}=-\frac{-\frac{3}{2}}{1}=\frac{3}{2}\)

\(\begin{flalign*} \text{Contoh 9. } &\text{Apabila akar-akar } x^4 – 8x^3 + ax^2 – bx + c = 0 \\ &\text{membentuk deret aritmetika dengan beda 2, }\\ &\text{tentukan nilai } a,\,b\text{, dan } c. \end{flalign*}\)

\(\begin{flalign*} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 &= -\frac{b}{q} \\ x_1 + x_1 + 2 + x_1 + 4 + x_1 + 6 &= -\frac{-8}{1} \\ 4x_1 + 12 &= 8 \\ 4x_1 &= -4 \\ x_1 &= -1 \\ x_2 &= x_1 + 2 = -1 + 2 = 1 \\ x_3 &= x_1 + 4 = -1 + 4 = 3 \\ x_4 &= x_1 + 6 = -1 + 6 = 5 \end{flalign*}\)

\(\begin{flalign*} x_1\cdot{x_2} + x_1\cdot{x_3} + x_1\cdot{x_4} + x_2\cdot{x_3} + x_2\cdot{x_4} + x_3\cdot{x_4} &= \frac{c}{a} \\ (-1)\cdot(1) + (-1)\cdot(3) + (-1)\cdot(5) + (1)\cdot(3) + (1)\cdot(5) + (3)\cdot(5) &= \frac{a}{1} \\ -1 - 3 - 5 + 3 + 5 + 15 &= a \\ a &= 14 \end{flalign*}\)

\(\begin{flalign*} {x_1}\cdot{x_2}\cdot{x_3} + {x_1}\cdot{x_2}\cdot{x_4} + x_1\cdot{x_3}\cdot{x_4} + {x_2}\cdot{x_3}\cdot{x_4} &= -\frac{d}{a} \\ (-1)\cdot(1)\cdot(3) + (-1)\cdot(1)\cdot(5) + (-1)\cdot(3)\cdot(5) + (1)\cdot(3)\cdot(5) &= -\frac{-b}{1} \\ -3 - 5 - 15 + 15 &= b \\ b &= -8 \end{flalign*}\)

\(\begin{flalign*} {x_1}\cdot{x_2}\cdot{x_3}\cdot{x_4} &= \frac{e}{1} \\ (-1)\cdot(1)\cdot(3)\cdot(5) &= c \\ c &= -15 \end{flalign*}\)

Jadi \(\,a=14\,\), \(\,b=-8\,\), dan \(\,c=-15\).

wave

Identitas Polinomial

  1. \(\small a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)

  2. \(\small (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

    • \(\small a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\)

  3. \(\small (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

    • \(\small a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a-b) = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)

  4. \(\small (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

    • \(\small a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a+b) = (a+b)(a^2-ab+b^2)\)

  5. \(\small (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+ac+bc)\)

    • \(\small a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab+ac+bc)\)

  6. \(\small (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b+c)(ab+ac+ac)-3abc\)

    • \(\small a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)^3 - 3(a+b+c)(ab+ac+ac)+3abc\)
\(\begin{flalign*} \text{Contoh 10. } &\text{Buktikan bahwa } 49 - (2x + 7)^2 = -2x(14 + 2x). \end{flalign*}\)

Jawab

\(\begin{flalign*} \text{Ruas kiri } &= 49 - (2x + 7)^2 \\ &= 7^2 - (2x+7)^2 \\ &= (7+2x+7)(7-(2x+7)) \\ &= (2x+14)(-2x) \\ &= -2x(14+2x) \\ &= \text{Ruas kanan (Terbukti)} \end{flalign*}\)

\(\begin{flalign*} \text{Contoh 11. } &\text{Buktikan bahwa } (m^2+n^2)^2 = (m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 \end{flalign*}\)

Jawab

\(\begin{flalign*} \text{Ruas kanan } &= (m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 \\ &= (m^2)^2 - 2m^2n^2 + (n^2)^2 + 4m^2n^2 \\ &= (m^2)^2 + 2m^2n^2 + (n^2)^2 \\ &= (m^2 + n^2)^2 \\ &= \text{Ruas kiri (Terbukti)} \end{flalign*}\)

Fungsi Pecahan Sebagian

Untuk setiap faktor linear \((ax+b)\) dari penyebut suatu pecahan dapat dibuat pecahan sebagian dalam bentuk \(\dfrac{A}{ax+b}\).

\(\begin{flalign*} \text{Contoh 12. } &\text{Nyatakan } \frac{x+2}{(x+1)(x-2)} \text{ dalam pecahan sebagian.} \end{flalign*}\)

Jawab:

\(\begin{flalign*} \frac{x+2}{(x+1)(x-2)} &= \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2} \\ &= \frac{A(x-2) + B(x+1)}{(x+1)(x-2)} \\ &= \frac{Ax-2A + Bx+B}{(x+1)(x-2)} \\ &= \frac{(A+B)x-2A+B}{(x+1)(x-2)} \end{flalign*}\)

Diperoleh sistem persamaan linear:

\(\begin{flalign*} A+B &= 1 \\ -2A+B &= 2 \end{flalign*}\)

Menghasilkan: \(A=-\dfrac{1}{3}\) dan \(B=\dfrac{4}{3}\)

Jadi

\(\begin{flalign*} \frac{x+2}{(x+1)(x-2)} &= \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2} = \frac{-\frac{1}{3}}{x+1} + \frac{\frac{4}{3}}{x-2} \\ &= -\frac{1}{3(x+1)} + \frac{4}{3(x-2)} \\ &= \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{x+1} + \frac{4}{x-2}\right) \end{flalign*}\)

Untuk setiap faktor polinom berderajat dua \((ax^2+bx+c)\) dari penyebut suatu pecahan dapat dibuat pecahan sebagian dalam bentuk \(\dfrac{Ax+B}{ax^2+bx+c}\).

\(\begin{flalign*} \text{Contoh 13. } &\text{Nyatakan } \dfrac{4x^2+3x+6}{(2x-1)(x^2+4)} \text{ dalam pecahan sebagian.} \end{flalign*}\)

Jawab:

\(\begin{aligned} \frac{4x^2+3x+6}{(2x-1)(x^2+4)} &= \frac{A}{2x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+4} \\ &= \frac{(A+2B)x^2+(-B+2C)x+(4A-C)}{(2x-1)(x^2+4)} \end{aligned}\)

Diperoleh sistem persamaan linear:

\(\begin{aligned} A+2B &= 4 \\ -B+2C &= 3 \\ 4A-C &= 6 \end{aligned}\)

Menghasilkan: \(A=2\), \(B=1\), dan \(C=2\).

Jadi

\(\begin{aligned} \dfrac{4x^2+3x+6}{(2x-1)(x^2+4)} &= \dfrac{A}{2x-1} + \dfrac{Bx+C}{x^2+4} \\ &= \dfrac{2}{2x-1} + \dfrac{x+2}{x^2+4} \end{aligned}\)

Untuk setiap faktor linear \((ax+b)\) yang berulang sebanyak \(n\) kali pada penyebut suatu pecahan, maka pecahan itu dapat dibuat \(n\) buah pecahan sebagian.

  • \(\dfrac{3x-1}{(x-1)^2} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{(x-1)^2} = \dfrac{3}{x-1}+\dfrac{4}{(x-1)^2}\)

  • \(\dfrac{3x^2+16x+15}{(x+3)^3}\)
    \(= \dfrac{A}{x+3} + \dfrac{B}{(x+3)^2} + \dfrac{C}{(x+3)^3}\)
    \(= \dfrac{3}{x+3} + \dfrac{-2}{(x+3)^2} + \dfrac{-6}{(x+3)^3}\)

wave

Soal Jawab Polinomial

1. Soal Jawab Bentuk Umum Polinomial

\(\begin{flalign*} \text{01. } &\text{Apakah bentuk aljabar berikut merupakan polinomial}\\ &\text{a. } 27-8x^3 \\ &\text{b. } 4x^2y - 9xy^2 \\ &\text{c. } \frac{x^2}{y}-xy^2 \end{flalign*}\)

Jawab:

Bentuk aljabar pada \(27-8x^3\) dan \(4x^2y - 9xy^2\) merupakan polinomial, karena semua sukunya merupakan monomial.

Bentuk \(\frac{x^2}{y}-xy^2\) bukan merupakan polinomial karena \(\frac{x^2}{y}=x^2y^{-1}\) memuat variabel pembagi atau variabel berpangkat negatif (pangkatnya bukan elemen bilangan Cacah).

\(\begin{flalign*} \text{02. } &\text{Tentukan nilai A, B, dan C,}\\ &\text{jika diketahui } (2x+1)(3x-7)=Ax^2+Bx-7 \end{flalign*}\)

Jawab:

\(\begin{flalign*} (2x+1)(3x-7) &= Ax^2+Bx-7 \\ 6x^2+11x-7 &= Ax^2 + Bx - 7 \end{flalign*}\)

\(\therefore A=6,\,B=11,\,\) dan \(\,C=7\)

\(\begin{flalign*} \text{03. } &\text{Tentukan nilai A, B, dan C, }\\ &\text{jika diketahui } 3x^2-10x-8 = (Ax+2)(x-B) \end{flalign*}\)

Jawab:

\(\begin{flalign*} 3x^2-10x-8 &= (Ax+2)(x-B) \\ &= Ax^2 - ABx + 2x - B \\ &= Ax^2 -(AB-2)x - 8 \end{flalign*}\)

Diperoleh \(A=3\) dan \(AB-2=10 \Rightarrow 3B=12 \Rightarrow B=4\).

\(\therefore A=3\,\) dan \(\,B=4\)

\(\begin{flalign*} \text{04. } &\text{Tentukan nilai A, B, dan C,}\\ &\text{jika diketahui } -4x + 13 = A(2x-5) + B(3x-6) \end{flalign*}\)

Jawab:

\(\begin{flalign*} -4x + 13 &= A(2x-5) + B(3x-6) \\ &= 2Ax - 5A + 3Bx -6B \\ &= (2A+3B)x + (-5A-6B) \end{flalign*}\)

Diperoleh sistem persamaan linear:

\(\begin{flalign*} 2A+3B &= -4 \\ -5A-6B &= 13 \end{flalign*}\)

Menghasilkan: \(A=-5\) dan \(B=2\)

2. Soal Jawab Operasi Aritmetika pada Polinomial

\(\begin{flalign*} \text{01. } &(2x^3 + 3x^2y-1)+(x^3-3x^2y+3xy^2+1)=\cdots. \end{flalign*}\)

Jawab:

\(\begin{flalign*} &(x^3 + 3x^2y-1)+(x^3-3x^2y+3xy^2+1) \\ &= (1+1)x^3 +(3-3)x^2y+(0+3)xy^2+(-1+1) \\ &= 2x^3 + 3xy^2 \end{flalign*}\)

\(\begin{flalign*} \text{02. } &(x^3 + 3x^2y-1)-(x^3-3x^2y+3xy^2+1)=\cdots. \end{flalign*}\)

Jawab:

\(\begin{flalign*} &(x^3 + 3x^2y-1)-(x^3-3x^2y+3xy^2+1) \\ &= (1-1)x^3 +(3-(-3)x^2y+(0-3)xy^2+(-1-1) \\ &= 6x^2y - 3xy^2 - 2 \end{flalign*}\)

\(\begin{flalign*} \text{03. } &(x+y-z)\times(x-y+z)=\cdots. \end{flalign*}\)

Jawab:

\(\begin{flalign*} &(x+y-z)\times(x-y+z) \\ &= x\times(x-y+z) + y\times(x-y+z) - z\times(x-y+z) \\ &= x^2-xy+xz + xy-y^2+yz - xz+yz-z^2 \\ &= x^2-y^2-z^2+2yz \end{flalign*}\)

\(\begin{flalign*} \text{04. } &\text{Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian }\\ &P(x)=2x^3-7x^2+11x-4 \text{ oleh }2x-1 \end{flalign*}\)

Jawab:

Pembagian Bersusun

2x - 1 2x³ - 7x² + 11x - 4 x² - 3x + 4 2x³ - x² - -6x² + 11x - 4 -6x² + 3x - 8x - 4 8x - 4 - 0

Pembagian Sintetis

½ 2 -7 11 -4 1 -3 4 2 -6 8 0

\(\begin{flalign*} &2x^3-7x^2+11x-4 \\ &= (x-\frac{1}{2})(2x^2-6x+8)+0 \\ &= (x-\frac{1}{2})\cdot{2}\cdot(x^2-3x+4) \\ &= (2x-1)(x^2-3x+4) \\ \end{flalign*}\)

\(\therefore\) Hasil baginya \(x^2-3x+4\) dan sisa \(0\).

\(\begin{flalign*} \text{05. } &\text{Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian }\\ &P(x)=2x^4+5x^3-x+8 \text{ oleh }x^2+x-2 \end{flalign*}\)

Jawab:

Pembagian Bersusun

x² + x − 2 2x⁴ + 5x³ + 0x² − x + 8 2x² + 3x + 1 2x⁴ + 2x³ − 4x² − 3x³ + 4x² − x + 8 3x³ + 3x² − 6x − x² + 5x + 8 x² + x − 2 − 4x + 10

Pembagian Sintetis

1 2 5 0 -1 8 2 7 7 6 2 7 7 6 14 = S₁ -2 -4 -6 -2 2 3 1 4 = S₂ 2x² + 3x + 1 (Hasil Bagi)

Sisa pembagian suku banyak \(P(x)\) oleh \((x−a)(x−b)\) adalah \(S(x) = (x−a)S_2 +S_1\).

\(\begin{flalign*} S &= (x-a)\cdot{\text{S}_2} + \text{S}_1 \\ &= (x-1)\cdot{4}+14 \\ &= 4x-4+14 \\ &= 4x+10 \end{flalign*}\)

\(\therefore\) Hasil baginya \(2x^2+3x+1\) dan sisa \(4x+10\).

\(\begin{flalign*} \text{06. } &\text{Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian }\\ &P(x)=2x^4+5x^3-x+8 \text{ oleh }x^2+x-2 \end{flalign*}\)

Jawab:

Pembagian Bersusun

2x² − x − 3 4x⁴ + 0x³ − 7x² + x + 2 2x² + x 4x⁴ − 2x³ − 6x² − 2x³ − x² + x + 2 2x³ − x² − 3x − 4x + 2

Pembagian Sintetis

-1 4 0 -7 1 2 -4 4 3 -4 4 -4 -3 4 -2 = S₁ ³/₂ 6 3 0 4 2 0 4 = S₂ ½(4x² + 2x) = 2x² + x (Hasil Bagi)

Sisa pembagian suku banyak \(P(x)\) oleh \((x−a)(x−b)\) adalah \(S(x) = (x−a)S_2 +S_1\).

\(\begin{flalign*} S &= (x-a)\cdot{\text{S}_2} + \text{S}_1 \\ &= (x+1)\cdot{4}-2 \\ &= 4x+4-2 \\ &= 4x+2 \end{flalign*}\)

\(\therefore\) Hasil baginya \(2x^2+x\) dan sisa \(4x+2\).

3. Soal Jawab Teorema Sisa dan Teorema Faktor

\(\begin{flalign*} \text{01. } &\text{Tentukan faktor-faktor dari } \\ &2x^3 - 3x^2 - 9x \end{flalign*}\)

Jawab:

\(\begin{flalign*} 2x^3 - 3x^2 - 9x &= x(2x^2 - 3x - 9) \\ &= x(2x+3)(x-3) \end{flalign*}\)

Faktor-faktor dari \(2x^3 - 3x^2 - 9x\) adalah \(\,x\,\), \(\,x-3\,\), dan \(\,2x+3\).

\(\begin{flalign*} \text{02. } &\text{Tentukan faktor-faktor dari } \\ &6x^3 + 7x^2 - 5x \end{flalign*}\)

Jawab:

\(\begin{flalign*} 6x^3 + 7x^2 - 5x &= x(6x^2 + 7x - 5) \\ &= x(2x-1)(3x+5) \end{flalign*}\)

Faktor-faktor dari \(6x^3 + 7x^2 - 5x\) adalah \(\,x\,\), \(\,2x-1\,\), dan \(\,3x+5\).

\(\begin{flalign*} \text{03. } &\text{Tentukan faktor lainnya,}\\ &\text{jika } x+1 \text{ merupakan faktor dari } \\ &2x^3 - 5x^2 - x + 6 \end{flalign*}\)

Jawab:

-1 2 -5 -1 6 -2 7 -6 2 -7 6 0

Hasil bagi \(2x^3-5^2-x+6\) oleh \(\,x+1\,\) adalah:

\(2x^2-7x+6 = (2x-3)(x-2)\)

\(\therefore\) Faktor dari \(\,2x^3 - 5x^2 - x + 6\,\) selain \(\,x+1\,\) adalah \(\,x-2\,\) dan \(\,2x-3\).

\(\begin{flalign*} \text{04. } &\text{Tentukan faktor lainnya,}\\ &\text{jika } x^2+5x+6 \text{ merupakan faktor dari } \\ &6x^4 + 29x^3 + 16x^2 - 81x - 90 \end{flalign*}\)

Jawab:

\(x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)\)

-2 6 29 16 -81 -90 -12 -34 36 90 6 17 -18 -45 0 -3 -18 3 45 6 -1 -15 0

Hasil bagi \(6x^4 + 29x^3 + 16x^2 - 81x - 90\) oleh \(x^2+5x+6\) adalah:

\(6x^2-x-15 = (2x+3)(3x-5)\)

\(\therefore\) Faktor dari \(\,6x^4 + 29x^3 + 16x^2 - 81x - 90\,\) selain \(\,x^2+5x+6\,\) adalah \(\,2x+3\,\) dan \(\,3x-5\).

\(\begin{flalign*} \text{05. } &\text{Tentukan faktor lainnya,}\\ &\text{jika } x^2-5x+4 \text{ merupakan faktor dari } \\ &8x^4 - 22x^3 - 63x^2 + 97x - 20 \end{flalign*}\)

Jawab:

\(x^2-5x+4 = (x-1)(x-4)\)

1 8 -22 -63 97 -20 8 -14 -77 20 8 -14 -77 20 0 4 32 72 -20 8 18 -5 0

Hasil bagi \(8x^4 - 22x^3 - 63x^2 + 97x - 20\) oleh \(x^2-5x+4\) adalah:

\(8x^2+18x-5 = (2x+5)(4x-1)\)

\(\therefore\) Faktor dari \(\,8x^4 - 22x^3 - 63x^2 + 97x - 20\,\) selain \(\,x^2-5x+4\,\) adalah \(\,2x+5\,\) dan \(\,4x-1\).

4. Soal Jawab Persamaan Polinomial

\(\begin{flalign*} \text{01. } &\text{Diketahui 2 akar dari } 2x^3 + px^2 + 7x + 6 = 0. \\ &\text{Tentukan jumlah ketiga akar persamaannya.} \end{flalign*}\)

Jawab:

Karena \(x=2\) akar dari persamaan \(2x^3 + px^2 + 7x + 6 = 0\), maka:

\(\begin{flalign*} 2\cdot(2)^3 + p\cdot(2)^2 + 7\cdot(2) + 6 &= 0 \\ 16+4p+14+6 &= 0 \\ 4p &= -36 \\ p &= -9 \end{flalign*}\)

Persamaan polinomialnya menjadi \(2x^3-9x^2+7x+6=0\).

Jumlah ketiga akarnya adalah \(-\frac{b}{a}=-\frac{-9}{2}=4\frac{1}{2}\)

\(\begin{flalign*} \text{02. } &\text{Persamaan } 2x^3 + 3x^2 + px + 8 = 0 \\ &\text{mempunyai sepasang akar berkebalikan.} \\ &\text{Tentukan nilai }p. \end{flalign*}\)

Jawab:

Sebut sepasang akar yang berkebalikan itu adalah \(x_1\) dan \(x_2\), maka hubungan keduanya adalah: \[x_1 = \frac{1}{x_2} \quad\Leftrightarrow\quad x_1\times{x_2}=1\]

hasil kali ketiga akarnya adalah:

\(\begin{flalign*} x_1 \times x_2 \times x_3 &= -\frac{d}{a} \\ 1 \times x_3 &= -\frac{8}{2} \\ x_3 &= -4 \end{flalign*}\)

Karena \(x_3=-4\) akar dari \(2x^3 + 3x^2 + px + 8 = 0\), maka

\(\begin{flalign*} 2\cdot(-4)^3 + 3\cdot(-4)^2 + p\cdot(-4) + 8 &= 0 \\ -128 + 48 - 4p + 8 &= 0 \\ -4p &= -72 \\ p &= \frac{-72}{-4}=18 \end{flalign*}\)

\(\therefore\) Nilai \(p=18\)

5. Soal Jawab Identitas Polinomial dan Fungsi Pecahan Sebagian

\(\begin{flalign*} \text{01. } &\text{Nyatakan } \dfrac{x^2}{x^2-x-2} \text{ dalam pecahan sebagian.} \end{flalign*}\)

Jawab:

\(\begin{flalign*} \frac{x^2}{x^2-x-2} &= \frac{x^2-x-2\,+x+2}{x^2-x-2} \\ &= 1 + \frac{x+2}{(x+1)(x-2)} \\ &= 1 + \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2} \\ &= 1 + \frac{-\frac{1}{3}}{x+1} + \frac{\frac{4}{3}}{x-2} \end{flalign*}\)

Penjelasan mendapatkan nilai \(A=-\frac{1}{3}\) dan \(B=\frac{4}{3}\) dapat dilihat di Contoh 12.

\(\begin{flalign*} \text{02. } &\text{Nyatakan } \dfrac{x^3-7}{x^2+x-2} \text{ dalam pecahan sebagian.} \end{flalign*}\)

Jawab:

\(\begin{aligned} \dfrac{x^3-7}{x^2+x-2} &= \dfrac{(x+1)(x+2)(x-1)+3x-9}{(x+2)(x-1)} \\ &= (x-1) + \dfrac{3x-9}{(x+2)(x-1)} \\ &= (x-1) + \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+2} \\ &= (x-1) + \dfrac{Ax+2A+Bx-B}{(x-1)(x+2)} \\ &= (x-1) + \frac{(A+B)x+(2A-B)}{(x-1)(x+2)} \\ &= (x-1) + \dfrac{-2}{x-1} + \dfrac{5}{x+2} \end{aligned}\)

Diperoleh sistem persamaan linear:

\(\begin{aligned} A+B &= 3 \\ 2A-B &= -9 \end{aligned}\)

Menghasilkan: \(A=-2\,\) dan \(\,B=5\).

Jadi

\(\begin{aligned} \dfrac{x^3-7}{x^2+x-2} &= (x-1) + \dfrac{3x-9}{(x+2)(x-1)} \\ &= (x-1) + \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+2} \\ &= (x-1) + \dfrac{-2}{x-1} + \dfrac{5}{x+2} \end{aligned}\)

Soal-soal Ulangan

  1. Nyatakan polinomial berikut dalam bentuk baku.

    \[P(x)=(x-2)(2x+3)+3x(x+1)(x-1)\]

  2. Diketahui polinomial \(P(x)=3x^4-5x^3-14x^2+5x+16\).
    Tentukan nilai \(P(\frac{3}{2})\).

  3. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian \(x^4-2x^3+3x^2-4\) oleh \(x^2-x-2\)

  4. Polinomial \(P(x)\) dibagi \(x-1\) sisanya 4 dan dibagi \(x-2\) sisanya 7.
    Tentukan sisa pembagian \(P(x)\) oleh \(x^2-3x+2\).

  5. Jika \(x^2-x-2\) adalah faktor dari \(x^3-2x^2-x+2\),
    tentukan faktor lainnya.

  6. Jika \(x^2-1\) adalah faktor dari \(ax^3-3x^2-2x+3\),
    tentukan faktor lainnya.

  7. Jika \(x^2-1\) adalah faktor dari \(ax^3-2x^2-4x+2\),
    tentukan nilai dari jumlah akar-akar dan hasil kali akar-akarnya.

  8. Jika \(x_1\), \(x_2\), dan \(x_3\) akar-akar dari \(x^3-7x+6=0\),
    tentukan nilai dari \({x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2\)

  9. Tanpa menggunakan kalkulator, hitunglah nilai dari:

    • \(2025^2 - 2024^2\).
    • \(\dfrac{(2024 + 2023)^2 + (2024-2023)^2}{2023^2 + 2024^2}\)
    • Diketahui \(\dfrac{x+2}{2x^2-x-1}=\dfrac{A}{2x+1}+\dfrac{B}{x-1}\),
      tentukan nilai \(A\) dan \(B\).
    • Nyatakan \(\dfrac{x+2}{2x^2+x-1}\) dalam pecahan sebagian

Alternatif Jawaban Soal Ulangan

\(\begin{flalign*} \text{01. } &\text{Nyatakan polinomial berikut dalam bentuk baku. }\\ &P(x)=(x-2)(2x+3)+3x(x+1)(x-1) \end{flalign*}\)

Jawab:

\(\begin{aligned} &(x-2)(2x+3)+3x(x+1)(x-1) \\ &= x(2x+3)-2(2x+3)+3x(x^2-1) \\ &= 2x^2+3x-4x-6+3x^3-3x \\ &= 3x^3 + 2x^2 - 4x - 6 \end{aligned}\)

\(\begin{flalign*} \text{02. } &\text{Diketahui polinomial } P(x)=3x^4-5x^3-14x^2+5x+16 \\ &\text{Tentukan nilai }P\left(\frac{3}{2}\right).\\ \end{flalign*}\)

Jawab:

Menenetukan nilai \(P(\frac{3}{2})\) menggunakan metode substitusi.

\(\small\begin{aligned} P\left(\frac{3}{2}\right) &= 3\,\left(\frac{3}{2}\right)^4 -5\,\left(\frac{3}{2}\right)^3 - 14\,\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 5\left(\frac{3}{2}\right) + 16 \\ &= 3\,\left(\frac{81}{16}\right) -5\,\left(\frac{27}{8}\right) - 14\,\left(\frac{9}{4}\right) + 5\left(\frac{3}{2}\right) + 16 \\ &= \left(\frac{3\times{81}}{16}\right) -\left(\frac{5\times{27}\times{2}}{8\times{2}}\right) - \left(\frac{14\times{9}\times{4}}{4\times{4}}\right) + \left(\frac{5\times{3}\times{8}}{2\times{8}}\right) + 16 \\ &= \left(\frac{243}{16}\right) -\left(\frac{270}{16}\right) - \left(\frac{504}{16}\right) + \left(\frac{120}{16}\right) + 16 \\ &= \frac{-411}{16} + 16 \\ &= -25\frac{11}{16} + 16 = -9\frac{11}{16} \end{aligned}\)

Menenetukan nilai \(P(\frac{3}{2})\) menggunakan metode skema.

³/₂ 3 -5 -14 5 16 ⁹/₂ -¾ -21⁹/₈ -25¹¹/₁₆ 3 -¹/₂ -14¾ -16⁹/₈ -9 ¹¹/₁₆ = P(³/₂)

\(\begin{flalign*} \text{03. } &\text{Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian } \\ &x^4-2x^3+3x^2-4 \text{ oleh } x^2-x-2 \end{flalign*}\)

Jawab:

Pembagian Bersusun

x² − x − 2 x⁴ − 2x³ + 3x² + 0x − 4 x² − x + 4 x⁴ − x³ − 2x² − -x³ + 5x² + 0x − 4 -x³ + x² + 2x − 4x² − 2x − 4 4x² − 4x − 8 − 2x + 4

Pembagian Sintetis

Pembagi \(x^2-x-2=(x+1)(x-2)\).

-1 1 -2 3 0 -4 -1 3 -6 6 1 -3 6 -6 2 = S₁ 2 2 -2 8 1 -1 4 2 = S₂ x² - x + 4 (Hasil Bagi)

Sisa pembagiannya adalah

\(\begin{aligned} (x+1)\cdot{S_2}+S_1 &= (x+1)\cdot{2}+2 \\ &= 2x+2+2 \\ &= 2x+4 \end{aligned}\)

\(\therefore\) Hasil baginya \(x^2-x+4\) dan sisa \(2x+4\).

\(\begin{flalign*} \text{04. } &\text{Polinomial } P(x) \text{ dibagi } x-1 \text{ sisanya } 4 \\ &\text{dan dibagi } x-2 \text{ sisanya } 7.\\ &\text{Tentukan sisa pembagian } P(x) \text{ oleh } x^2-3x+2. \end{flalign*}\)

Jawab:

\(P(x)\) dibagi \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\) sisanya \(S(x)=px+q\).

\(P(x)\) dibagi \((x-1)\) sisanya \(P(1)=S(1)=p+q=4\).

\(P(x)\) dibagi \((x-2)\) sisanya \(P(2)=S(2)=2p+q=7\).

Dari \(p+q = 4\) dan \(2p+q = 7\), diperoleh \(p=3\) dan \(q=1\).

\(\therefore\) sisa pembagian \(P(x)\) oleh \(x^2-3x+2\) adalah \(3x+1\).

\(\begin{flalign*} \text{05. } &\text{Jika } x^2-x-2 \text{ adalah faktor dari } x^3-2x^2-x+2\\ &\text{tentukan faktor lainnya.} \end{flalign*}\)

Jawab:

Pembagian Bersusun

x² − x − 2 x³ − 2x² − x + 2 x − 1 x³ − x² − 2x − -x² + x + 2 -x² + x + 2 − 0

Pembagian Sintetis

Pembagi \(x^2-x-2=(x+1)(x-2)\).

-1 1 -2 -1 2 -1 3 2 1 -3 2 0 2 2 -2 1 -1 0 x − 1 (faktor lainnya)

\(\therefore\) Faktor lainnya adalah \(x-1\)

\(\begin{flalign*} \text{06. } &\text{Jika } x^2 - 1 \text{ adalah faktor dari } ax^3-3x^2-2x+3 \\ &\text{tentukan faktor lainnya.} \end{flalign*}\)

Jawab:

Diketahui \(x^2-1\) atau \((x+1)\) dan \((x-1)\) adalah faktor-faktor dari \(ax^3-3x^2-2x+3\).

Menentukan Nilai \(a\) dengan Metode Substitusi

Menentukan nilai \(a\) dengan metode substitusi.

Ambil \(x=1\), maka:

\(\begin{flalign*} a\cdot(1)^3 - 3\cdot(1)^2 - 2\cdot(1) + 3 &= 0 \\ a-3-2+3 &= 0 \\ a &= 2 \end{flalign*}\)

x² − 1 2x³ − 3x² − 2x + 3 2x − 3 2x³ + 0x² − 2x − -3x² + 0x + 3 -3x² + 0x + 3 − 0

Menentukan Nilai \(a\) dengan Metode Sintetis

1 a -3 -2 3 2 -1 -3 a=2 -1 -3 0 -1 -2 3 2 -3 0 2x − 3 (faktor lainnya)

\(\therefore\) Faktor lainnya adalah \(2x-3\)

\(\begin{flalign*} \text{07. } &\text{Jika } x^2 - 1 \text{ adalah faktor dari } ax^3-2x^2-4x+2 \\ &\text{tentukan nilai dari jumlah akar-akar dan hasil kali akar-akarnya.} \end{flalign*}\)

Jawab:

Diketahui polinomial \(ax^3-2x^2-4x+2\), dengan \(a=a\), \(b=-2\), \(c=-4\), dan \(d=2\).

Karena \(x^2-1\) atau \((x+1)\) dan \((x-1)\) adalah faktor-faktor dari \(ax^3-2x^2-4x+2\), maka \(x_1=1\) dan \(x_2=-1\) merupakan pembuat nol polinom.

Menentukan Nilai \(a\) dengan Metode Substitusi

Ambil \(x=1\), maka:

\(\begin{flalign*} a\cdot(1)^3 - 2\cdot(1)^2 - 4\cdot(1) + 2 &= 0 \\ a-2-4+2 &= 0 \\ a &= 4 \end{flalign*}\)

Menentukan Nilai \(a\) dengan Metode Skema

1 a -2 -4 2 4 2 -2 a = 4 2 -2 0

Jumlah akar-akarnya adalah \(x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}=-\frac{-2}{4}=\frac{1}{2}\)

Hasil kali akar-akarnya adalah \(x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\)

\(\begin{flalign*} \text{08. } &\text{Jika } x_1,\, x_2,\,\text{ dan } x_3 \text{ akar-akar dari } x^3-7x+6=0 \\ &\text{tentukan nilai dari }{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2 \end{flalign*}\)

Jawab:

Pada polinom \(x^3-7x+6=0\) diketahui \(a=1\), \(b=0\), \(c=-7\), dan \(d=6\).

\(\begin{flalign*} {x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2 &= \left({x_1}+{x_2}+{x_3}\right)^2 - 2\left({x_1}\,{x_2}+{x_1}\,{x_3}+{x_2}\,{x_3}\right) \\ &= \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 2\times\left(\frac{c}{a}\right) \\ &= \left(-\frac{0}{1}\right)^2 - 2\times\left(\frac{7}{1}\right) \\ &= 0-14=-14 \end{flalign*}\)

\(\begin{flalign*} \text{09. } &\text{Tanpa menggunakan kalkulator, hitunglah nilai dari: } \\ &\circ\, 2025^2 - 2024^2 \\[8pt] &\circ\, \frac{(2024 + 2023)^2 + (2024-2023)^2}{2023^2 + 2024^2} \end{flalign*}\)

Jawab:

\(\small\begin{flalign*} \circ\quad &2025^2 - 2024^2 \\ &= (2025+2024)(2025-2024)\\ &= (4049)(1) = 4049 \end{flalign*}\)

\(\small\begin{flalign*} \circ\quad &\frac{(2024 + 2023)^2 + (2024-2023)^2}{2023^2 + 2024^2} \\ &= \frac{2024^2 + 2\times{2024}\times{2023} + 2023^2 + 2024^2 - 2\times{2024}\times{2023} + 2023^2}{2023^2 + 2024^2} \\ &= \frac{2\left(2023^2 + 2024^2\right)}{2023^2 + 2024^2} \\ &= 2 \\[11pt] &\text{Cara lain: Misalkan } a=2024 \text{ dan } b= 2023 \text{, maka } \\ &= \frac{(a + b)^2 + (a-b)^2}{a^2 + b^2}\\ &= \frac{a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2}{a^2 + b^2} \\ &= \frac{2a^2 + 2b^2}{a^2 + b^2} \\ &= \frac{2\left(a^2 + b^2\right)}{a^2 + b^2} \\ &= 2 \\ \end{flalign*}\)

\(\begin{flalign*} \text{10. } &\circ\text{ Diketahui } \frac{x+2}{2x^2-x-1}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x-1} \\ &\quad\text{ tentukan nilai } A \text{ dan } B. \\ &\circ\text{ Nyatakan } \frac{x+2}{2x^2+x-1} \text{ dalam pecahan sebagian } \end{flalign*}\)

Jawab:

\(\small\begin{flalign*} \circ\quad &\frac{x+2}{2x^2-x-1} \\ &= \frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x-1} \\ &= \frac{Ax-A}{(2x+1)(x-1)}+\frac{2Bx+B}{(2x+1)(x-1)} \\ &= \frac{(A+2B)x-A+B}{(2x+1)(x-1)} \\[8pt] &\text{Diperoleh sistem persamaan linear dua variabel} \\ &\quad A+2B = 1 \\ &\quad -A+B = 2 \\[8pt] &\text{Menghasilkan } A=-1 \text{ dan } B=1. \end{flalign*}\)

\(\small\begin{flalign*} \circ\quad &\frac{x+2}{2x^2+x-1} \\ &= \frac{A}{2x-1}+\frac{B}{x+1} \\ &= \frac{Ax+A}{(2x-1)(x+1)}+\frac{2Bx-B}{(2x-1)(x+1)} \\ &= \frac{(A+2B)x+A-B}{(2x-1)(x+1)} \\[8pt] &\text{Diperoleh sistem persamaan linear dua variabel} \\ &\quad A+2B = 1 \\ &\quad A-B = 2 \\[8pt] &\text{Menghasilkan }A=\frac{5}{3} \text{ dan }B=-\frac{1}{3}. \end{flalign*}\)

Back to top