Persiapan PSAT Matematika Kelas X

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Mengeliminasi satu variabel dari sistem persamaan linear tiga variabel yang diberikan

1. Diberikan sistem persamaan linear:
   \[\begin{align*} x - 2y - 3z &= 6 &\quad(1) \\ 2x + 3y + z &= 5 &\quad(2) \\ 3x - y - 2z &= 7 &\quad(3) \end{align*}\] Untuk mengeliminasi variabel \(z\), kita dapat menggunakan persamaan (2) dan (3).
   Apakah hasil dari eliminasi variabel \(z\)?
   
   1. \(x + 7y = 3\)
   2. \(x + 7y = -2\)
   3. \(5x + 2y = 12\)
   4. \(7x + 5y = 12\)
   5. \(7x + 5y = 17\)

Jawaban e.

Untuk mengeliminasi variabel \(z\), dapat dilakukan dengan operasi penjumlahan 2 kali persamaan (2) dengan 1 kali persamaan (3): \[ \begin{align*} 2 \times \text{Persamaan (2)} &: &4x + 6y + 2z &= 10 \\ 1 \times \text{Persamaan (3)} &: &3x - y - 2z &= 7 \quad{+}\\ \hline z\text{( tereliminasi)} &: &7x + 5y \qquad &= 17 \end{align*} \]

Jawaban: e. \(7x + 5y = 17\)

Diberikan sistem persamaan linier tiga variabel dengan salah satu varibel diketahui nilainya, peserta didik dapat menentukan persamaan liner dua variabel dengan mensubtitusikan variabel yang diketahui tersebut

2. Diberikan sistem persamaan linear:
   \[\begin{align*} z &= -3 &\quad(1) \\ 2x - y - 3z &= 9 &\quad(2) \\ 3x + 2y + z &= 4 &\quad(3) \end{align*}\] Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) menghasilkan ….
   
   1. \(2x - y = 0\)
   2. \(2x - y = 3\)
   3. \(2x - y = 6\)
   4. \(2x - y = 12\)
   5. \(2x - y = 18\)

Jawaban a.

\[\begin{align*} 2x - y - 3z &= 9 \\ 2x - y - 3(-3) &= 9 \\ 2x - y + 9 &= 9 \\ 2x - y &= 0 \end{align*}\]

Jawaban: a. \(2x-y=0\)

Menentukan penyelesaian sistem persamaan liniear tiga variabel

3. Diberikan sistem persamaan linear: \[\begin{align*} x + 3y - 2z &= 13 &\quad(1) \\ 2x + y - 3z &= 13 &\quad(2) \\ 3x + 2y - z &= 10 &\quad(3) \end{align*}\] Nilai \(y\) yang memenuhi sistem persamaan tersebut adalah ….
   
   1. \(-3\)
   2. \(-2\)
   3. \(1\)
   4. \(2\)
   5. \(3\)

Jawaban d.

Pertama kita eliminasi \(z\).

Dari persamaan (1) dan persamaan (3) diperoleh:

\[\begin{align*} 2 \times \text{persamaan (3)} &: &6x + 4y - 2z &= 20 \\ 1 \times \text{persamaan (1)} &: &x + 3y - 2z &= 13 \quad{-}\\ \hline & & 5x + \;\, y \qquad\; &= 7 \qquad{(4)} \end{align*}\]

Dari persamaan (2) dan persamaan (3) diperoleh:

\[\begin{align*} 3 \times \text{persamaan (3)} &: &9x + 6y - 3z &= 30 \\ 1 \times \text{persamaan (2)} &: &2x + \;\, y - 3z &= 13 \quad{-}\\ \hline & & 7x + 5y \qquad\; &= 17 \qquad{(5)} \end{align*}\]

Dari persamaan (4) persamaan (5), eliminasi \(x\):

\[\begin{align*} 7 \times \text{persamaan (4)} &: &35x + \;\, 7y &= 49 \\ 5 \times \text{persamaan (5)} &: &35x + 25y &= 85 \quad{-}\\ \hline & & -18y &= -36 \\ & & y &= \frac{-36}{-18}=2 \\ \end{align*}\]

Jawaban: d. \(2\)

Menentukan model sistem persamaan liniear tiga variabel dari masalah yang diberikan

4. Budi, Tika, dan Caca membeli buku tulis, pulpen, dan pensil di toko yang sama. Budi membeli 2 buku tulis, 1 pulpen, dan 1 pensil dengan harga total Rp 32.500. Tika membeli 3 buku tulis, 2 pulpen, dan 1 pensil dengan harga total Rp 50.000. Caca membeli 3 buku tulis, 1 pulpen, dan 1 pensil dengan harga total Rp 42.500.
   Misalkan harga 1 buku tulis adalah x rupiah, harga 1 pulpen adalah y rupiah, dan harga 1 pensil adalah z rupiah. Maka model matematika dari permasalahan ini adalah ….
   
   \(\begin{align*}&\text{a. } &2x + y + z &= 32.500 \\ & &3x + 2y + z &= 50.000 \\ & &3x + y + z &= 42.500\end{align*}\)
   
   \(\begin{align*}&\text{b. } &2x + y + z &= 32.500 \\ & &3x + 2y + z &= 42.500 \\ & &3x + y + z &= 50.000\end{align*}\)
   
   \(\begin{align*}&\text{c. } &2x + 3y + 3z &= 32.500 \\ & &x + 2y + z &= 42.500 \\ & &x + y + z &= 50.000\end{align*}\)
   
   \(\begin{align*}&\text{d. } &2x + 3y + 3z &= 50.000 \\ & &x + 2y + z &= 42.500 \\ & &x + y + z &= 32.500\end{align*}\)
   
   \(\begin{align*}&\text{e. } &2x + 3y + 3z &= 32.500 \\ & &x + 2y + z &= 50.000 \\ & &x + y + z &= 42.500\end{align*}\)

Jawaban a.

Dari pernyataan: “Budi membeli 2 buku tulis, 1 pulpen, dan 1 pensil dengan harga total Rp 32.500”
diperoleh persamaan: \[ 2x+y+z = 32.500 \]

Dari pernyataan: “Tika membeli 3 buku tulis, 2 pulpen, dan 1 pensil dengan harga total Rp 30.000”
dipreoleh persamaan: \[ 3x + 2y + z = 50.000 \]

Dari pernyataan: “Caca membeli 3 buku tulis, 1 pulpen, dan 1 pensil dengan harga total Rp 15.000”
dipereoleh persamaan: \[ 3x + y + z = 42.500 \]

Maka sistem persamaan linearnya adalah:

\[\begin{align*} 2x + y + z &= 32.500 \\ 3x + 2y + z &= 50.000 \\ 3x + y + z &= 42.500 \end{align*}\]

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Menentukan titik yang terletak pada daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier dua variabel

5. Titik-titik berikut berada pada daerah penyelesaian dari pertidaksamaan \(5x - 7y > 35\), kecuali ….
   
   1. \((8 , 0)\)
   2. \((6 , -1)\)
   3. \((4 , -3)\)
   4. \((2 , -4)\)
   5. \((0 , -5)\)

Jawaban e.

Karena jika \(x = 0\) dan \(y=-5\), diperoleh: \[\begin{align*} 5x - 7y &= 5 \times (0) - 7 \times (-5) \\ &= 35 \not> 35 \end{align*}\]

maka titik \((0,-5)\) tidak berada di daerah penyelesaian pertidaksamaan \(5x-7y>35\)

Menentukan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linier dua variabel

6. Diberikan sistem pertidaksamaan linier dua variabel berikut.
   \[\begin{align*} 2x - y &\leq 4 \\ x + y &\geq 1 \end{align*}\]
   Yang merupakan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan ini adalah ….
   
   1. Daerah di bawah garis \(2x - y = 4\) dan di bawah garis \(x + y = 1\)
   2. Daerah di bawah garis \(2x - y = 4\) dan di atas garis \(x + y = 1\)
   3. Daerah di atas garis \(2x - y = 4\) dan di bawah garis \(x + y = 1\)
   4. Daerah di atas garis \(2x - y = 4\) dan di atas garis \(x + y = 1\)
   5. Tidak dapat ditentukan

Jawaban d.

Menentukan solusi dari masalah terkait sistem pertidaksamaan linier dua variabel

7. Badu memiliki uang sebesar Rp50.000,00 untuk membeli buku dan pensil. Setiap buku seharga Rp 12.000,00 dan setiap pensil seharga Rp5.000,00. Badu harus membeli setidaknya 3 buku. Berikut merupakan penyelesaian yang mungkin, kecuali ….
   
   1. Badu membeli 3 buku dan 0 pensil
   2. Badu membeli 3 buku dan 1 pensil
   3. Badu membeli 3 buku dan 2 pensil
   4. Badu membeli 4 buku dan 1 pensil
   5. Badu membeli 4 buku dan 0 pensil

Jawaban d.

Misalkan \(x\) adalah jumlah buku dan \(y\) adalah jumlah pensil yang dibeli.
Sistem pertidaksamaan dari permasalahan di atas adalah:
\[\begin{align*} 12x + 5y &\leq 50 \\ x &\geq 3 \end{align*}\]

Substitusi setiap opsi ke dalam sistem pertidaksamaan:
Untuk semua opsi \(x \geq 3\) terpenuhi.
Sekarang kita periksa, pada setiap opsi apakah terpenuhi tidaknya pertidaksamaan \(12x + 5y \leq 50\).
Soal meminta kita agar yang tidak terpenuhi yang menjadi jawabannya.

1. \(x = 3\) dan \(y = 0\)
   \(12(3) + 5(0) = 36 \leq 50\)
2. \(x = 3\) dan \(y = 1\)
   \(12(3) + 5(1) = 41 \leq 50\)
3. \(x = 3\) dan \(y = 2\)
   \(12(3) + 5(2) = 46 \leq 50\)
4. \(x = 4\) dan \(y = 1\)
   \(12(4) + 5(1) = 53 \nleq 50\)
5. \(x = 4\) dan \(y = 0\)
   \(12(4) + 5(0) = 48 \leq 50\)

Fungsi Kuadrat

Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat.

8. Akar-akar dari persamaan kuadrat \(2x^2-3x-2=0\) adalah ….
   
   1. \(x = 1\) atau \(x = -\frac{1}{2}\)
   2. \(x = \frac{1}{2}\) atau \(x = -1\)
   3. \(x = \frac{1}{2}\) atau \(x = -2\)
   4. \(x = 2\) atau \(x = -\frac{1}{2}\)
   5. \(x = 2\) atau \(x = -1\)

Jawaban d.

\(\begin{align*}2x^2 - 3x - 2 &= 0 \\ \Leftrightarrow (2x + 1)(x - 2) &= 0 \end{align*}\)

Diperoleh:

\(2x + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -\frac{1}{2}\)

atau

\(x - 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2\)

Jadi akar-akarnya adalah \(x = 2\) atau \(x = -\frac{1}{2}\).

Mengggunakan diskriminan untuk menyelidiki akar-akar persamaan kuadrat

9. Fungsi kuadrat berikut yang berpotongan dengan sumbu X di dua titik real yang berbeda adalah ….
   
   1. \(f(x) = x^2 - 6x + 9\)
   2. \(f(x) = x^2 + 6x + 10\)
   3. \(f(x) = 2x^2 - 5x + 3\)
   4. \(f(x) = 3x^2 - 2x + 5\)
   5. \(f(x) = 9x^2 + 6x + 1\)

Jawaban c.

Fungsi kuadrat yang berperpotongan dengan sumbu X di dua titik real berbeda adalah yang memiliki nilai diskriminan lebih dari 0.

Kita periksa nilai diskriminan dari setiap persamaan kuadrat yang diberikan pada opsi jawaban.

1. \(a = 1\), \(b = -6\), dan \(c = 9\)
   \(D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0\)
2. \(a = 1\), \(b = 6\), dan \(c = 10\)
   \(D = b^2 - 4ac = (6)^2 - 4(1)(10) = 36 - 40 < 0\)
3. \(a = 2\), \(b = -5\), dan \(c = 3\)
   \(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1 > 0\)
4. \(a = 3\), \(b = -2\), dan \(c = 5\)
   \(D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(3)(5) = 4 - 60 < 0\)
5. \(a = 9\), \(b = 6\), dan \(c = 1\)
   \(D = b^2 - 4ac = (6)^2 - 4(9)(1) = 36 - 36 = 0\)

Mengiidentifikasi titik potong dengan sumbu y, titik potong dengan sumbu x, persamaan sumbu simetri, nilai maksimum/minimum, dan titik balik dari parabola yang disajikan

10. Perhatikan grafik fungsi kuadrat berikut.
    
    Berikut adalah karakteristik grafik fungsi kuadrat ini, kecuali ….
    
    1. Titik potong dengan sumbu Y di (0,-8)
    2. Titik potong dengan sumbu X di (-2,0) dan (4,0)
    3. Vertex atau titik puncak di (1,-9)
    4. Sumbu simetrinya adalah \(x=1\)
    5. Nilai minimum fungsi adalah \(-8\)

Jawaban e.

Nilai minimum fungsi adalah \(-9\), bukan \(-8\)

Diberikan beberapa persamaan parabola, peserta didik dapat menentukan parabola yang terbuka ke atas atau ke bawah

11. Grafik fungsi kuadrat berikut berupa parabola yang terbuka ke atas adalah ….
    
    1. \(f(x) = -x^2\)
    2. \(f(x) = -x^2 + 2x\)
    3. \(f(x) = -1 + 2x^2\)
    4. \(f(x) = 3 - 12x^2\)
    5. \(f(x) = 3 + 5x - 2x^2\)

Jawaban c.

Grafik fungsi kuadrat berupa parabola yang akan terbuka ke atas jika nilai koefisien \(x^2\)-nya bernilai positif.

Dari opsi yang tersedia, hanya persamaan kuadrat pada opsi c yang koefisien \(x^2\)-nya bernilai positif.

Menentukan titik potong parabola dengan sumbu-y

12. Sebuah parabola memiliki persamaan \(y = 2x^2 - 10x\). Titik potong parabola dengan sumbu-Y adalah ….
    
    1. \((0,0)\)
    2. \((0,2)\)
    3. \((0,-5)\)
    4. \((0,-10)\)
    5. \((2,-10)\)

Jawaban b.

Titik potong parabola dengan persamaan \(y= ax^2 + bx +c\) adalah di \((0,c)\).

Persamaan parabola yang diberikan adalah \(y = 2x^2 - 10x\), memiliki nilai \(c=0\).

Jadi titik potong parabola itu dengan sumbu y di \((0,0)\)

Menyelesaikan masalah persamaan kuadrat, terkait dengan titik potong parabola dengan sumbu-x

13. Sebuah parabola memiliki persamaan \(y = 2x^2 - 5x + 3\). Titik potong parabola dengan sumbu-x adalah ….
    
    1. \((-3,0)\) dan \((-\frac{1}{2},0)\)
    2. \((-3,0)\) dan \((\frac{1}{2},0)\)
    3. \((-1,0)\) dan \((\frac{3}{2},0)\)
    4. \((1,0)\) dan \((\frac{3}{2},0)\)
    5. \((3,0)\) dan \((-\frac{1}{2},0)\)

Jawaban a.

Parabola berpotongan dengan sumbu X saat \(y = 0\), sehingga

\(\begin{align*}2x^2 + 5x - 3 &= 0 \\ \Leftrightarrow (2x - 1)(x + 3) &= 0 \end{align*}\)

Diperoleh:

\(2x - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{2}\)

atau

\(x + 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -3\)

Jadi titik potongan parabola itu dengan sumbu di \((-3,0)\) dan \((-\frac{1}{2},0)\).

Menentukan nilai minimum dari masalah fungsi kuadrat yang disajikan modelnya

14. Suatu perusahaan memproduksi barang dengan biaya untuk memproduksi x unit barang dapat dinyatakan dengan rumus fungsi \(f(x)=x^2-120x+6000\) (\(f(x)\) dalam ratusan rupiah). Agar biaya produksi minimum, maka banyak unit barang yang diperoduksi harus sebanyak … unit.
    
    1. 50
    2. 60
    3. 120
    4. 1200
    5. 6000

Jawaban b.

Fungsi \(f(x) = ax^2 + bx +c\) bernilai minimum saat \(x=-\frac{b}{2a}\).

Maka \(f(x)=x^2-120x+6000\) bernilai minimum saat \(x=-\frac{-120}{2 \times 1}=60\)

Menentukan nilai maksimum dari masalah fungsi kuadrat yang disajikan modelnya

15. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar.
    
    Jika ABEF dan BCDE dua persegi panjang yang kongruen, maka agar luasnya maksimum, panjang AF sesuai kerangka itu adalah ….
    
    1. 16 m
    2. 18 m
    3. 20 m
    4. 22 m
    5. 24 m

Jawaban c.

Misalkan panjang \(AF = x\) dan panjang \(AC = y\), maka panjang kawat dapat dinyatakan dalam persamaan:
\(3x + 2y = 120 \quad\Leftrightarrow y = 60 - \frac{3}{2}y\)

Luas kerangka adalah:

\[\begin{align*} L &= AC \times AF \\ &= x y \\ L(x) &= x\cdot\left(60 - \frac{3}{2}x\right) \\ &= 60x - \frac{3}{2}x^2 \end{align*}\]

Nilai fungsi \(L(x) = 60x - \frac{3}{2}x^2\) akan maksimum, saat \(a > 0\) dan
\[\begin{align*} x &= -\frac{b}{2a} \\ &= -\frac{60}{2\times(-\frac{3}{2})} \\ &= \frac{60}{3} = 20 \end{align*}\]

Kuartil

Menentukan Q1 atau Q3 dari data yang belum diurutkan

16. Berikut adalah data tinggi badan siswa dalam cm: 165, 173, 160, 175, 155, 180, 168, 170. Nilai kuatil atas dari data tersebut adalah ….
    
    1. 173
    2. 173,5
    3. 174
    4. 174,5
    5. 175

Jawaban c.

\(Q_3 = \frac{173+175}{2} = 174\)

Mengidentifikasi nilai minimum, Q1, Q2, Q3, atau nilai maksimum dari diagram kotak-garis yang disajikan

17. Box plot berikut menunjukkan data usia penerima beasiswa.
    
    Pernyattan berikut yang benar adalah ….
    
    1. Mediannya 23
    2. Kuartil bawah 20
    3. Rata-rata berusia 25
    4. Usia tertua adalah 35
    5. Usia termuda adalah 15

Jawaban a.

Dari box plot yang diberikan, maka statistik lima serangkainya adalah:

• Nilai terendah \(17\)
• \(Q_1 = 19\)
• \(Q_2 = 23\)
• \(Q_3 = 25\)
• Nilai terendah \(35\)

Halaman sebelumnya

Persiapan PSAT Tahun 2024