Peluang (Probabilitas)
Apa itu Peluang?
Jika saya mengatakan, “Hari ini mungkin akan turun hujan”.
Apa yang saya maksud?
Saat ini sedang hujan.
Saat ini sedang gerimis.
Sore ini akan turun hujan.
Beberapa hari ini selalu turun hujan.
Ada kemungkinan hari ini akan turun hujan. Mungkin akan turun hujan, tapi mungkin juga tidak.
Ingat kembali yang dipelajari di SMP/MTs tentang peluang
Frekuensi Relatif (Peluang Empiris) Suatu Kejadian
peluang empiris.
Jika pada percobaan melempar undi dadu sebanyak 100 kali dan diperoleh kemunculan sisi dadu bermata 5 sebanyak 20 kali, maka peluang empiris muncul mata dadu 5 adalah \(\frac{20}{100} = \frac{1}{5}\) atau 0,2 atau 20%.
Berapa frekuensi relatif (peluang empiris) muncul sisi angka pada pelemparan undi mata uang? Untuk menjawabnya, Ananda dapat melakukan aktivitas berikut:
-
Cobalah undi sebuah koin uang.
Dapatkah kamu menduga berapa banyak munculnya sisi muka?
Dapatkah kamu menyatakan bahwa kamu akan selalu mendapat hasil tersebut?
-
Cobalah undi koin uang sebanyak 10 kali dan selidiki frekuensi relatif munculnya sisi gambar.
Selidiki pula perubahan frekuensi relatif munculnya sisi gambar, jika banyaknya pelemparan koin uang adalah 20, 40, 60, ….
| Banyak Percobaan | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | … | 360 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Banyak muncul sisi angka | |||||||
| Banyak muncul sisi gambar |
Untuk menghitung frekuensi relatifnya dengan rumus berikut:
Bagaimana nilai frekuensi relatif suatu kejadian, jika percobaannya sebanyak n kali yang mendekati tak hingga \((n \to \infty)\)?
Pengertian Peluang (Peluang Teoretis)
Dalam peluang teoretis, kita tidak perlu melihat berapa banyak percobaan dilakukan.
Coba perhatikan koin uang, banyaknya sisi pada koin ada dua. Terdapat satu sisi angka dan satu sisi gambar.
Peluang teoretis munculnya sisi angka adalah banyaknya sisi angka dibagi banyaknya sisi pada koin, yaitu \(\frac{1}{2}\).
Peluang merupakan cara pengukuran kuantitatif tentang kemungkinan munculnya suatu kejadian tertentu dalam suatu percobaan.
Suatu percobaan akan menghasilkan ruang sampel, yaitu semesta pembicaraan atau semua kejadian yang mungkin terjadi dari suatu percobaan.
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Jika S adalah ruang sampel dan E adalah suatu kejadian yang akan dicari nilai peluangnya, maka P(E) adalah peluang kejadian E:
\[P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}\]
Nilai \(P(E)\) berada pada rentang nilai dari 0 s.d. 1 yang diilustrasikan pada gambar berikut.
Contoh Soal 1
Pada percobaan melempar undi dadu bersisi enam dengan sisi-sisinya bermata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 yang dilakukan satu kali lemparan, tentukan peluang muncul sisi dadu bermata prima ganjil.
Pada percobaan melempar undi sekali dadu bersisi enam dengan sisi-sisinya bermata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6:
Ruang sampel-nya adalah
\(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) dan \(n(S) = 6\).
Kejadian \(E\) kita sebut sebagai kejadian muncul mata dadu prima ganjil.
\(E = \{ 3 , 5 \}\) dan \(n(E) = 2\).
Maka
\[ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]
Contoh 2
Pada percobaan melempar undi tiga koin bersisi angka dan gambar yang dilakukan satu kali lemparan, hitunglah peluang muncul 2 angka.
Pada percobaan melempar undi sekali tiga koin bersisi angka (A) dan gambar (G):
Ruang sampel-nya adalah:
\(\begin{align*}
S = \{ &AAA, \\
&AAG, AGA, GAA, \\
&AGG, GAG, GGA, \\
&GGG \}
\end{align*}\)
\(n(S) = 8\)
Kejadian \(E\) kita sebut sebagai kejadian muncul 2 angka (1 gambar).
\(E = \{ AAG , AGA, GAA \}\) dan \(n(E) = 3\).
Maka
\[ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{8}\]
Contoh 3
Pada percobaan melempar undi dua dadu masing-masing bersisi enam yang dilakukan satu kali lemparan, hitunglah peluang muncul sisi mata dadu berjumlah 11.
Pada percobaan melempar undi sekali dua dadu masing-masing bersisi enam dengan sisi-sisinya bermata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6:
Ruang sampel-nya adalah
\(\begin{align*}
S = \{&(1, 1), (1, 2), … , (1, 6), \\
&(2, 1), (2, 2), … , (2, 6), \\
&(3, 1), (3, 2), … , (3, 6), \\
&(4, 1), (4, 2), … , (4, 6), \\
&(5, 1), (5, 2), … , (5, 6), \\
&(6, 1), (6, 2), … ,(6, 6)\}
\end{align*}\)
\(n(S) = 36\).
Kejadian \(E\) kita sebut sebagai kejadian muncul sisi mata dadu berjumlah 11.
\(E = \{(5, 6), (6, 5)\}\) dan \(n(E) = 2\).
Maka
\[ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\]
Contoh 4
Pada percobaan mengambil dua bola dari kantong berisi 4 bola putih, 3 bola orange, dan 2 bola ungu, hitunglah peluang terambil 2 bola putih.
Pada percobaan mengambil dua bola dari kantong berisi 4 bola putih, 3 bola orange, dan 2 bola ungu:
Ruang sampel-nya adalah
\(\begin{align*}
S = \{ &P_1P_2, P_1P_3, P_1P_4, P_1O_1, P_1O_2, P_1O_3, P_1U_1, P_1U_2, \\
&P_2P_3, P_2P_4, P_2O_1, P_2O_2, P_2O_3, P_2U_1, P_2U_2, \\
&P_3P_4, P_3O_1, P_3O_2, P_3O_3, P_3U_1, P_3U_2, \\
&P_4O_1, P_4O_2, P_4O_3, P_4U_1, P_4U_2, \\
&O_1O_2, O_1O_3, O_1U_1, O_1U_2, \\
&O_2O_3, O_2U_1, O_2U_2, \\
&O_3U_1, O_3U_2, \\
&U_1U_2 \}
\end{align*}\)
\(n(S) = 36\).
Kejadian \(E\) kita sebut sebagai kejadian terambil 2 bola putih.
\(E = \{ P_1P_2, P_1P_3, P_1P_4, P_2P_3, P_2P_4, P_3P_4 \}\)
\(n(E) = 6\).
Maka
\[ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\]
Contoh 5
Pada kegiatan lomba cepat tepat yang diikuti lima regu A, B, C, D, dan E, akan diambil juara 1, 2, dan 3.
Hitunglah peluang A sebagai juara 1 dan B juara 2.
Ruang sampel-nya adalah
\(\begin{align*}
S = \{ &ABC, ABD, ABE, ACB, ACD, ACE, ADB, ADC, ADE, AEB, AEC, AED, \\
&BAC, BAD, BAE, BCA, BCD, BCE, BDA, BDC, BDE, BEA, BEC, BED, \\
&CAB, CAD, CAE, CBA, CBD, CBE, CDA, CDB, CDE, CEA, CDB, CDE, \\
&DAB, DAC, DAE, DBA, DBC, DBE, DCA, DCB, DCE, DEA, DEB, DEC, \\
&EAB, EAC, EAD, EBA, EBC, EBD, ECA, ECB, ECD, EDA, EDB, EDC \}
\end{align*}\)
\(n(S) = 60\).
Kejadian \(E\) kita sebut sebagai kejadian \(A\) sebagai juara 1 dan \(B\) juara 2.
\(E = \{ ABC, ABD, ABE \}\) dan \(n(E) = 3\).
Maka
\[ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}\]
Latihan Soal Ruang Sampel dan Peluang Suatu Kejadian
Silakan Ananda menyelesaikan soal-soal pada tautan berikut (untuk mengaksesnya gunakan akun belajar id Ananda).
Latihan Soal Ruang Sampel dan Peluang Suatu Kejadian