Aturan Penjumlahan dan Perkalian
Aturan Penjumlahan
Masalah Pembuka 1
Ayah memiliki kendaraan yang biasa digunakannya untuk pergi ke kantor yaitu satu mobil dan dua motor (lihat gambar ilustrasinya).
Bagaimana menghitung banyak cara Ayah pergi ke kantor menggunakan kendaraan itu?
Masalah Pembuka 2
Berdasarkan gambar, berapa banyak lintasan terpendek yang mungkin dari P ke Q?
Lintasan ke-1: P-A-B-E-Q
Lintasan ke-2: P-A-D-E-Q
Lintasan ke-3: P-A-D-G-Q
Lintasan ke-4: P-C-D-E-Q
Lintasan ke-5: P-C-D-G-Q
Lintasan ke-6: P-C-F-G-Q
Ada 6 lintasan terpendek yang mungkin dari P ke Q.
Aturan Penjumlahan
- Jika satu tindakan dan tindakan lainnya tidak dapat dilakukan pada saat yang bersamaan, tindakan pertama dapat dilakukan sebanyak m pilihan dan tindakan lainnya dapat dilakukan sebanyak n pilihan, maka ada m + n cara untuk memilih salah satu tindakan ini.
- Jika kejadian1 dengan kejadian2 saling lepas serta kejadian1 dapat terjadi m cara dan kejadian2 dapat terjadi n cara, maka banyak cara terjadi kejadian1 atau kejadian2 adalah sebanyak m + n cara
- Aturan penjumlahan hanya berlaku untuk kejadian/pilihan yang saling lepas (saling eksklusif), yaitu hanya satu kejadian/pilihan yang dapat terjadi/dipilih.
Permasalahan Aturan Penjumlahan
Permasalahan 1
Badu akan melaksanakan Shalat Jumat, yang bersangkutan sudah berada di Mushola Al-Hidayah. Ternyata di Mushola Al-Hidayah tidak menyelenggarakan shalat Jumat. Masjid terdekat adalah Masjid Al-Muhajirin.
Perhatikan potret dari atas yang menggambarkan posisi Mushola dan Masjid itu serta jalan-jalan alternatif yang dapat digunakan.
- Berapa banyak lintasan terpendek untuk menempuh perjalanan dari Mushola Al-Hidayah dengan Masjid Al-Muhajirin (dihitung dari dua titik pertigaan/perempatan, yaitu dari A ke B).
- Bagaimana menghitung banyak lintasan itu?
Permasalahan 2
Badu akan berangkat ke sekolah.
Badu terkadang pergi ke sekolah melalui Chandra atau Dodo. Rute jalan melalui rumah Chandra, ada satu rute jalan dari rumah Badu ke rumah Chandra dan ada tiga rute jalan dari rumah Chandra ke sekolah.
Rute jalan melalui rumah Dodo, ada dua rute jalan dari rumah Badu ke rumah Dodo dan satu rute jalan dari rumah Dodo ke sekolah.
Berapa banyak rute jalan terpendek yang dapat ditempuh oleh Badu untuk sampai ke sekolah dari rumahnya kalau rutenya melalui rumah Chandra atau Dodo?
Permasalahan 3
Berapa banyak kata SEHAT yang dapat dibuat dari susunan huruf berikut, jika menyusun kata SEHAT itu dapat mengikuti alur/arah dari kiri ke kanan, kanan ke kiri, atas ke bawah, dan bawah ke atas.
Permasalahan 4
Pada satu kali pelemparan dadu bersisi enam yang masing-masing bermata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, apa yang dapat Ananda jelaskan tentang:
- Kejadian muncul mata dadu ganjil atau genap.
- Kejadian muncul mata dadu ganjil atau prima.
- Kejadian muncul mata dadu genap atau prima.
- Ruang sampelnya: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- Kejadian mata dadu ganjil: A = { 1, 3, 5 }
- Kejadian mata dadu genap: B = { 2, 4, 6 }
- Kejadian mata dadu prima: C = { 2, 3, 5 }
- Kejadian mata dadu ganjil atau genap: A∪B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
- Kejadian mata dadu ganjil atau prima: A∪C = { 1, 2, 3, 5 }
- Kejadian mata dadu genap atau prima: B∪C = { 2, 3, 4, 5, 6 }
Perhatikan \(A \cap B = \{ \}\), \(A\) dan \(B\) disebut dua kejadian saling lepas.
Sementara itu \(A \cap C = \{3, 5 \} \neq \{ \}\) demikian juga \(B \cap C = \{2\} \neq \{ \}\).
\(A\) dengan \(C\) dan \(B\) dengan \(C\) disebut tidak saling lepas.
Untuk dua kejadian saling lepas seperti \(A\) dan \(B\) bilangan kardinal \(A \cup B\): \[ n(A \cup B) = 6 = 3 + 3 = n(A) + n(B)\] Untuk dua kejadian yang tidak saling lepas seperti \(A\) dan \(C\) bilangan kardinal \(A \cup C\): \[ n(A \cup C) = 4 = 3 + 3 - 2 = n(A) + n(C) - n(A \cap C)\]
Apa yang dapat Ananda simpulkan dari pembahasan di atas?
Aturan Perkalian
Masalah Pembuka Aturan Perkalian
Masalah
Dari kota P ke kota Q harus melalui kota A.
Terdapat 2 rute dari kota P ke kota A dan 3 rute dari kota A ke kota Q.
Apakah pemilihan rute perjalanan dari P ke A (kejadian pertama) mempengaruhi pemilihan rute perjalanan dari A ke Q (kejadian kedua)?
Apa sebutan dari dua kejadian seperti itu?
Berapa banyak rute yang mungkin dari P ke Q?
Solusi
[Banyak rute jalan dari P ke A] x [Banyak rute jalan dari A ke Q] \(= 2 \times 3 = 6\)
Jadi banyak rute yang mungkin dari P ke Q ada 6 cara.
Pemilihan rute dari P ke A tidak mempengaruhi pemilihan rute dari A ke Q (kejadian saling bebas).
Kejadian saling bebas (independent) adalah terjadi atau tidak terjadinya satu peristiwa (kejadian1) tidak mempengaruhi/dipengaruhi peristiwa lainnya (kejadian2).
Aturan Perkalian
Jika ada \(m\) cara untuk melakukan satu hal (kejadian1) dan ada \(n\) cara untuk melakukan hal lain (kejadian2), maka ada \(m \times n\) pasang cara untuk terjadi keduanya (kejadian1 dan kejadian2).
Permasalahan Aturan Perkalian
Permasalahan 1
Di sekolah kita akan mengirimkan delegasi siswa untuk mengikuti pertemuan pelajar se-KCD IX.
Delegasi itu terdiri dari 2 siswa kelas XII, 4 siswa kelas XI, dan 3 siswa kelas X.
Dari sejumlah siswa itu dipilih pimpinan delegasi yang terdiri dari Ketua, Wakil Ketua, dan Sekretaris.
Jika kelas asal Ketua harus lebih tinggi dari kelas asal Wakil Ketua dan Sekretaris, hitunglah banyaknya kemungkinan susunan pimpinan yang dapat dibentuk.
Permasalahan 2
Berapa banyak bilangan antara 2.000 dan 6.000 yang dapat disusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 dengan tidak ada angka yang sama pada bilangan yang disusunnya.
Permasalahan 3
Misalkan ada:
2 jalan dari kota A ke kota B,
4 jalan dari kota A ke kota C,
2 jalan dari kota B ke kota C.
Dari kota B dan C masing-masing ada 3 jalan ke kota D.
Jika seseorang dari kota A pergi ke kota D melalui kota B dan C, berapa banyaknya cara yang dapat ia tempuh.
(UM UGM 2013 Kode 251 14/18/36/54/144)
Permasalahan 4
Dari huruf A, E, H, S, T dapat dibuat 120 kata.
- Tunjukkan bahwa pernyataan itu benar.
- Jika 120 kata itu disusun secara alfabet, pada urutan ke-berapakah kata “SEHAT”?
Latihan Soal
Silakan Ananda menyelesaikan soal-soal pada tautan berikut (untuk mengaksesnya gunakan akun belajar id Ananda).
Latihan Soal Aturan Penjumlahan dan Perkalian
Uji Kompetensi Aturan Penjumlahan dan Perkalian
Silakan Ananda menyelesaikan soal-soal pada tautan berikut (untuk mengaksesnya gunakan akun belajar id Ananda).
Uji Kompetensi Aturan Penjumlahan dan Perkalian