Limit

Tujuan Pembelajaran:
Memahami konsep limit dan menentukan nilai limit secara intuitif.

Misalkan \(I\) adalah interval nilai \(x\in\mathbb{R}\) dengan \(a<x<b\) dan \(c\in I\). Fungsi \(f(x)\) terdefinisi di \(I\), kecuali mungkin di \(c\) (di \(x=c\), \(f(x)\) mungkin terdefinisi, tetapi mungkin juga tidak terdefinisi).

Berikut ini diberikan empat contoh fungsi. Kita tinjau nilai fungsi \(f\) pada saat \(x\) di sekitar \(c\).

\(\scriptsize f(x)=(x-1)^3+1\)

Pada saat nilai \(x\) di sekitar \(c=1\),
nilai \(f\) di sekitar 1.

\(\scriptsize f(x)=\dfrac{x^4-4x^3+6x^2-3x}{x-1}\)

Pada saat nilai \(x\) di sekitar \(c=1\),
nilai \(f\) di sekitar 1.

\(\scriptsize f(x)=\left\{\begin{matrix} (x-1)^3+2 & ;\,x \leq 1\\ (x-1)^3+1 & ;\,x > 1 \end{matrix}\right.\)

Bagaimana nilai fungsi \(f\) ini, pada saat nilai \(x\) di sekitar \(c=1\)?

\(\scriptsize f(x)=\left\{\begin{matrix} (x-1)^3+2 & ;\,x < 1\\ (x-1)^3+1 & ;\,x \geq 1 \end{matrix}\right.\)

Bagaimana nilai fungsi \(f\) ini, pada saat nilai \(x\) di sekitar \(c=1\)?

Pengertian Limit

Pengantar Limit

Ingat fungsi \(f(x) = \dfrac{x^4-4x^3+6x^2-3x}{x-1}\) terdefinisi untuk setiap \(x \in \mathbb{R}\), kecuali untuk \(x=1\).

Yang terjadi dengan nilai \(f(x)\) di sekitar \(x=1\), kita dapat melihat bahwa nilai \(f(x)\) mendekati 1.

Demikian juga fungsi \(f(x) = \dfrac{x^3-1}{x-1}\) terdefinisi untuk setiap \(x \in \mathbb{R}\), kecuali untuk \(x=1\).

Apa yang terjadi dengan nilai \(f(x)\) di sekitar \(x=1\)?

Perhatikan tabel berikut.

\(x\)	0,9	0,99	0,999	1	1,001	1,01	1,1
\(f(x)\)	2,71	2,9701	2,997001	?	3,003001	3,0301	3,31

Kita dapat melihat bahwa pada saat nilai \(x\) mendekati 1, maka nilai \(f(x)=\dfrac{x^3-1}{x-1}\) mendekati 3.

Pengertian limit secara intuitif

\(\lim\limits_{x \to c} f(x) = L\) berarti nilai \(L\) adalah nilai \(f(x)\), jika \(x\) dekat ke \(c\) (tidak berarti \(x\) sama dengan \(c\), melainkan \(x\) dekat ke \(c\) dari arah kiri dan \(x\) dekat ke \(c\) dari arah kanan).

Jika fungsi \(f(x)\) terdefinisi pada interval yang memuat \(x=c\), maka:

1. \(\lim\limits_{x \to c} f(x) = L\) jika dan hanya jika \(\lim\limits_{x \to c^-} f(x) = L\) dan \(\lim\limits_{x \to c^+} f(x) = L\)
2. Jika \(\lim\limits_{x \to c^-} f(x) = L_1\) dan \(\lim\limits_{x \to c^+} f(x) = L_2\) dengan \(L_1 \neq L_2\), maka \(\lim\limits_{x \to c} f(x)\) tidak ada.

Keterangan

• \(\lim\limits_{x \to c^-} f(x)\) dibaca limit \(f(x)\) untuk nilai \(x\) yang mendekati \(c\) dari kiri (\(x<c\)).
• \(\lim\limits_{x \to c^+} f(x)\) dibaca limit \(f(x)\) untuk nilai \(x\) yang mendekati \(c\) dari kanan (\(x>c\)).

Definisi Formal Limit fungsi

Fungsi \(f\) mempunyai limit \(L\) untuk \(x \to c\) atau \(\lim\limits_{x \to c} f(x) = L\) berarti untuk \(\epsilon > 0\) bagaimana pun kecinya akan didapat bilangan postif \(\delta\) sedemikian sehingga untuk nilai \(x\) yang memenuhi \(|x - c| < \delta\) berlaku \(|f(x) - L| < \epsilon\).

Contoh 1

1a

Karena limit kiri \(\lim\limits_{x \to 2^{-}} 1 = 1\) dan limit kanan \(\lim\limits_{x \to 2^{+}} 1 = 1\) sama, maka:

\(\lim\limits_{x \to 2} 1 = 1\)

1b

Karena limit kiri \(\lim\limits_{x \to 2^{-}} x = 2\) dan limit kanan \(\lim\limits_{x \to 2^{+}} x = 2\) sama, maka:

\(\lim\limits_{x \to 2} x = 2\)

1c

Karena limit kiri \(\lim\limits_{x \to 0^{-}} x^2 = \infty\) dan limit kanan \(\lim\limits_{x \to 0^{+}} x^2 = \infty\) sama, maka:

\(\lim\limits_{x \to 0} x^2 = \infty\)

1d

Karena limit krir \(\lim\limits_{x \to 0^{-}} \dfrac{1}{x} = -\infty\) dan limit kanan \(\lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{1}{x} = \infty\) tidak sama, maka

\(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x}\) tidak ada

Teorema Limit

Teorema Utama Limit

Jika \(I\) adalah interval nilai \(x\in\mathbb{R}\) dengan \(a<x<b\), \(c\in I\), \(k\in\mathbb{R}\), \(n\in\mathbb{Z^+}\), serta \(\lim\limits_{x \to c} f(x)\), \(\lim\limits_{x \to c} g(x)\), dan \(\lim\limits_{x \to c} h(x)\) terdefinisi, maka berlaku:

1. \(\lim\limits_{x \to c} k = k\)
2. \(\lim\limits_{x \to c} x = c\)
3. \(\lim\limits_{x \to c} k \cdot f(x) = k \times \lim\limits_{x \to c} f(x)\)
4. \(\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x) \pm \lim\limits_{x \to c} g(x)\)
5. \(\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \times g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x) \times \lim\limits_{x \to c} g(x)\)
6. \(\lim\limits_{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim\limits_{x \to c} f(x)}{\lim\limits_{x \to c} g(x)}\) dengan \(\lim\limits_{x \to c} g(x) \neq 0\)
7. \(\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \right)^n = \left( \lim\limits_{x \to c} f(x) \right)^n\)
8. \(\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim\limits_{x \to c} f(x)}\) dengan \(\lim\limits_{x\to c} f(x) > 0\) untuk \(n\) genap.

Contoh 2

2a

Ingat:
\(\lim\limits_{x \to c} k = k\)

Maka

\(\lim\limits_{x \to 4} 11 = 11\)

2b

Ingat:
\(\lim\limits_{x \to c} x = c\)

Maka

\(\lim\limits_{x \to 8} x = 8\)

2c

Ingat:
\(\lim\limits_{x \to c} k\cdot f(x) = k \times \lim\limits_{x \to c} f(x)\)

Maka

\[\begin{align*}\lim\limits_{x \to -2} 6\cdot (x^3 + 11)^2 &= 6 \times \lim\limits_{x \to a} (x^3 + 11)^2 \\ &= 6 \times ((-2)^3 + 11)^2 \\ &= 6 \times (-8 + 11)^2 \\ &= 6 \times 3^2 = 54\end{align*}\]

2d

Ingat:
\(\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x) \pm \lim\limits_{x \to c} g(x)\)

Maka

\[\begin{align*} \lim\limits_{x \to 3} \left( 2(x-2)^5 + 3\sqrt{2x+3} \right) &= \lim\limits_{x \to 3} 2(x-2)^5 + \lim\limits_{x \to 3} 3\sqrt{2x +3} \\ &= 2(3-2)^5 + 3\sqrt{2\cdot 3 +3} \\ &= 2(1)^5 + 3\sqrt{9} \\ &= 2 + 9 = 11 \end{align*}\]

2e

Ingat:
\(\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \times g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x) \times \lim\limits_{x \to c} g(x)\)

Maka

\[\begin{align*} &\lim\limits_{x \to -1} (4x^4+3x^2-2x-1)\sqrt{\cos{(x+1)}} \\ &= \lim\limits_{x \to -1} (4x^4+3x^2-2x-1) \times \lim\limits_{x \to -1} \sqrt{\cos{(x+1)}} \\ &= \left(4(-1)^4+3(-1)^2-2(-1)-1\right) \times \sqrt{\cos{(-1+1)}} \\ &= (4+3+2-1) \times \sqrt{\cos{0}} \\ &= 8 \times 1 = 8 \end{align*}\]

2f

Ingat:
\(\lim\limits_{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim\limits_{x \to c} f(x)}{\lim\limits_{x \to c} g(x)}\) dengan \(\lim\limits_{x \to c} g(x) \neq 0\)

Maka

\[\begin{align*} \lim\limits_{x \to 2} \frac{x^3-1}{x^2-1} &= \frac{\lim\limits_{x \to 2} (x^3-1)}{\lim\limits_{x \to 2} (x^2-1)} \\ &= \frac{2^3-1}{2^2-1} = \frac{7}{3} \end{align*}\]

2g

Ingat:
\(\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \right)^n = \left( \lim\limits_{x \to c} f(x) \right)^n\)

Maka

\[\begin{align*} \lim\limits_{x \to 3} \left( x-2 \right)^{2024} &= \left( \lim\limits_{x \to 3} (x-2) \right)^{2024} \\ &= \left(3-2 \right)^{2024} \\ &= 1^{2024} = 1 \end{align*}\]

2h

Ingat:
\(\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim\limits_{x \to c} f(x)}\)

Maka

\[\begin{align*} \lim\limits_{x \to 3} \sqrt[5]{10x+2} &= \sqrt[5]{\lim\limits_{x \to 3} (10x+2)} \\ &= \sqrt[5]{(10\cdot 3+2)} \\ &= \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2 \end{align*}\]

Hukum substitusi:

1. Jika \(f(x)\) fungsi polinomial, maka: \[\lim\limits_{x \to c} f(x) = f(c)\]
2. Jika \(f(x)\) fungsi rasional, \(f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}\) dan \(f(c)\) terdefinisi, maka: \[\lim\limits_{x \to c} f(x) = f(c)=\frac{g(c)}{h(c)}\]

Contoh 3

3a Tentukan nilai \(\lim\limits_{x \to -2} 6\cdot (x^3 + 11)^2\)

Jawab

Karena fungsi \(f(x)=6\cdot (x^3 + 11)^2\) kontinu pada \(x\in\mathbb{R}\), maka:

\[\begin{align*}\lim\limits_{x \to -2} 6\cdot (x^3 + 11)^2 &= 6 \times ((-2)^3 + 11)^2 \\ &= 6 \times (-8 + 11)^2 \\ &= 6 \times 3^2 = 54\end{align*}\]

3b Tentukan nilai \(\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^2-1}{x+1}\)

Jawab

Karena fungsi \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x+1}\) kontinu pada saat nilai \(x\) di sekitar \(5\), maka:

\[\begin{align*}\lim\limits_{x \to 5} \frac{x^2-1}{x+1} &= \frac{5^2-1}{5+1} \\ &= \frac{24}{6} = 4 \end{align*}\]

Kuis Menentukan Limit Suatu Fungsi